Hallo,
ich habe mehrere Aufgaben zur Konvergenzuntersuchung bekommen und bin beim erledigen der Aufgaben auf 4 Fragen/Probleme gestoßen, bei denen ich nicht weiter kam:
- nach dem zusammenfassen blieb der folgende Term übrig:
n-te Wurzel aus 2^(-1)^n
wenn ich davon den Grenzwert bestimme, komme ich auf 1, weil für
alle geraden n der Grenzwert der n-ten Wurzel aus 2 und für alle
ungeraden n aus 1/2 gesucht ist, ist das richtig? wie schreib ich
es auf? kann ich den Term noch weiter zusammenfassen, damit ich
keine Fallunterscheidung mehr brauche?
- Wie berechne ich den Grenzwert für Terme die Fakultäten enthalten?
hatte Probleme bei lim [(2n+1)!]/[(3n)!]=??? (null wäre schön, denn
das Quotientenkriterium ist erfüllt und, wenn der Grenzwert null
ist, dann konvergiert die ganze Reihe…)
- hab eine Sache mit dem Majorantenkriterium versucht, reicht es aus,
wenn ich zu meiner reihe bzw. der zugehörigen folge eine folge
finde die größer ist um zu sagen, dass meine reihe konvergiert,
auch wenn die Majorante den Grenzwert unendlich hat? dann weiß ich
ja eigentlich, dass meine reihe einen Grenzwert kleiner als
unendlich hat, oder?
- Wie macht man das alles für komplexe Reihen?
ich soll folgende reihe auf konvergenz untersuchen:
[(7k+i)/(2+10k)]^k Dachte an das Quotientenkriterium, aber wie
mach ich das mit der Nullfolge?
Vielen Dank für eure Antworten!
hi anne,
- nach dem zusammenfassen blieb der folgende Term übrig:
n-te Wurzel aus 2^(-1)^n
wenn ich davon den Grenzwert bestimme, komme ich auf 1,
weil für
alle geraden n der Grenzwert der n-ten Wurzel aus 2 und für
alle
ungeraden n aus 1/2 gesucht ist, ist das richtig? wie
schreib ich
es auf? kann ich den Term noch weiter zusammenfassen, damit
ich
keine Fallunterscheidung mehr brauche?
n-te Wurzel aus 2^(-1)^n = (2^(-1)^n)^(1/n) = 2^((-1)^n)/n)
dieser exponent geht gegen 0, der term selbst gegen 1.
- Wie berechne ich den Grenzwert für Terme die Fakultäten
enthalten?
hatte Probleme bei lim [(2n+1)!]/[(3n)!]=??? (null wäre
schön, denn
das Quotientenkriterium ist erfüllt und, wenn der Grenzwert
null
ist, dann konvergiert die ganze Reihe…)
kürzen!
(2n+1)!/(3n)! = 1 / (3n * (3n-1) * (3n-2) * …* (2n+2)) für alle n>2
da geht der nenner jedenfalls gegen oo, der term selbst gegen 0.
- hab eine Sache mit dem Majorantenkriterium versucht, reicht
es aus,
wenn ich zu meiner reihe bzw. der zugehörigen folge eine
folge
finde die größer ist um zu sagen, dass meine reihe
konvergiert,
auch wenn die Majorante den Grenzwert unendlich hat? dann
weiß ich
ja eigentlich, dass meine reihe einen Grenzwert kleiner als
unendlich hat, oder?
nein, sicher nicht.
schau dir das majorantenkriterium (seine aussage) noch mal genauer an (z.b. http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium); wenn du eine konvergente majorante hast, erfährst du was über die konvergenz der reihe. eine divergente majorante sagt nichts aus.
„grenzwert = unendlich“ ist eine umschreibung für „divergent“; allerdings nicht die einzige. es gibt auch endliche divergente folgen und reihen.
- Wie macht man das alles für komplexe Reihen?
ich soll folgende reihe auf konvergenz untersuchen:
[(7k+i)/(2+10k)]^k Dachte an das Quotientenkriterium, aber
wie
mach ich das mit der Nullfolge?
sieht mir eher nach wurzelkriterium aus. der nenner wird linear, der zähler geht gegen 1. ansonsten ist das für komplexe zahlen ganz gleich wie für reelle; in der formel fürs wurzelkriterium steht eh der betrag.
aber da hab ich noch nix genaueres.
m.
Stimmt, bei 4. ist Wurzelkriterium das richtige! Das bekomme ich hin. Wie mach ich das denn mit dem Grenzwert wegen dem hinreichenden Kriterium von wegen Nullfolge und so? Das ist das größere Problem. Eigentlich würde ich a la 3. Binomischer Formel erweitern, damit ich dann i² habe und schön einsetzen kann, nur hilft mir das hier nicht, denn dann bekomme ich ja das blöde i unter dem Bruchstrich. Mein eigentlichges Problem ist also, dass ich nicht weiß wie man mit diesem i eine Grenzwertbetrachtung macht.
- und 2. ist mir jetzt klar, dafür schon mal vielen Dank!
Dann ist da noch 3. Ich habe jetzt nachgelesen und verstanden warum es nicht geht wie ich dachte, nur weiß ich jetzt leider nicht wie ich es machen kann. Die eigentlich Aufgabe, die mich zu der Frage führte war:
Reihe: Summe von n=1 bis unendlich über (-n+„Wurzel aus“ n²+1), hab die Folge umgeformt zu 1/(["Wurzel aus"n²+1]+n), weil ich das für die notwendige Bedingung mit der Nullfolge brauchte. Bei so einem Term bleibt mir doch nichts mehr außer einem Vergleichskriterium? Welche Folge/Reihe kann ich den zum vergleichen nehmen? Wie komme ich da drauf? Unser Übungsleiter zaubert immer die passende aus dem Hut 
Vielen Dank!
hi,
Stimmt, bei 4. ist Wurzelkriterium das richtige! Das bekomme
ich hin. Wie mach ich das denn mit dem Grenzwert wegen dem
hinreichenden Kriterium von wegen Nullfolge und so? Das ist
das größere Problem. Eigentlich würde ich a la 3. Binomischer
Formel erweitern, damit ich dann i² habe und schön einsetzen
kann, nur hilft mir das hier nicht, denn dann bekomme ich ja
das blöde i unter dem Bruchstrich. Mein eigentlichges Problem
ist also, dass ich nicht weiß wie man mit diesem i eine
Grenzwertbetrachtung macht.
vergiss das i; es geht beim wurzelkriterium um beträge.
- und 2. ist mir jetzt klar, dafür schon mal vielen Dank!
bütte bütte.
Reihe: Summe von n=1 bis unendlich über (-n+„Wurzel aus“
n²+1), hab die Folge umgeformt zu 1/(["Wurzel aus"n²+1]+n),
weil ich das für die notwendige Bedingung mit der Nullfolge
ich verstehe
summe (n= 1 … oo) (-n + Wurzel(n²+1)) =
-1 + Wu(2) - 2 + Wu(5) - 3 + Wu(10) -+…
???
brauchte. Bei so einem Term bleibt mir doch nichts mehr außer
einem Vergleichskriterium? Welche Folge/Reihe kann ich den zum
vergleichen nehmen? Wie komme ich da drauf? Unser Übungsleiter
zaubert immer die passende aus dem Hut
wenns das ist, muss ich mal nachdenken.
euer übungsleiter ist halt eingearbeitet und beim stellen der aufgaben beteiligt. er sollte euch nicht nur fertige lösungen vorsetzen, sondern die ideen vermitteln, die man da braucht.
m.
hi,
Reihe: Summe von n=1 bis unendlich über (-n+„Wurzel aus“
n²+1), hab die Folge umgeformt zu 1/(["Wurzel aus"n²+1]+n),
weil ich das für die notwendige Bedingung mit der Nullfolge
ich verstehe
summe (n= 1 … oo) (-n + Wurzel(n²+1)) =
-1 + Wu(2) - 2 + Wu(5) - 3 + Wu(10) -+…
???
brauchte. Bei so einem Term bleibt mir doch nichts mehr außer
einem Vergleichskriterium? Welche Folge/Reihe kann ich den zum
vergleichen nehmen? Wie komme ich da drauf? Unser Übungsleiter
zaubert immer die passende aus dem Hut
wenns das ist, muss ich mal nachdenken.
euer übungsleiter ist halt eingearbeitet und beim stellen der
aufgaben beteiligt. er sollte euch nicht nur fertige lösungen
vorsetzen, sondern die ideen vermitteln, die man da braucht.
vielleicht hilft folgendes:
-n + Wu(n² + 1) = 1 / (n + Wu(n² + 1))
(deine idee mit der 3. binomischen formel: (a-b)(a+b) = a²-b²)
und dann kannst du das mit der harmonischen reihe vergleichen, die nicht konvergiert.
m.
Hallo,
diese Umformung habe ich ja schon gemacht (mit der 3. Binomischen Formel) und dann den Vergleich mit der harmonischen Reihe und daraus ergab sich ja genau meine Frage, weil die harmonische Reihe divergent ist, also den Grenzwert unendlich hat und meine Reihe aber kleiner ist, ob ich dann schlussfolgern kann, dass meine Reihe einen Grenzwert kleiner unendlich hat. Diese Schlussfolgerung ist ja nun leider falsch und deswegen hat die harmonische Reihe auch nicht geholfen. Was mach ich den nun?
LG Anne
Mir ist gerade noch was aufgefallen, was eher ungünstig ist. Bei der Sache mit dem i, die Reihe war [(7k+i)/(2+10k)]^k. Hab jetzt das Wurzelkriterium benutzt und komme auf einen Grenzwert von 10/7, also größer 1 und damit eine divergente Reihe, aber ich soll je gerade zeigen, dass sie konvergent ist… ?!?
ja. der vergleich mit der harmonischen reihe (die du als divergente minorante betrachten kannst … im sinne der umkehrung des majorantenkriteriums) zeigt die divergenz dieses dings!
m.
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Ja, aber die Aufgabenstellung ist die KONVERGENZ zu zeigen, d.h. sie ist konvergent und alles andere ist irgendwie falsch! Aber was ist daran falsch? (Hab das Wurzelkriterium benutzt)
hi,
tja, da haben wir einen wirbel …
Ja, aber die Aufgabenstellung ist die KONVERGENZ zu zeigen,
d.h. sie ist konvergent und alles andere ist irgendwie falsch!
Aber was ist daran falsch? (Hab das Wurzelkriterium benutzt)
deine aufgabe 3 … da gings darum, das ding mit der wurzel auf konvergenz zu untersuchen. und da gibts eine divergente minorante, also ist bewiesen, dass die reihe selbst divergiert. darauf hab ich mich mit Re^4 bezogen.
Re^6 bezog sich immer noch auf aufgabe 3 … du hattest da aber wieder aufgabe 4 gemeint. tut mir leid: da hab ich nicht genau genug gelesen.
bei deiner aufgabe 4 (das ist die mit dem i) gehts mit dem wurzelkriterium um die beträge. nach genauer durchsicht muss ich sagen, dass ich in meiner ersten antwort was falsches geschrieben habe, denn ich habe das ^k nur auf den nenner, nicht auf den ganzen bruch bezogen.
wenn mans auf den ganzen bruch bezieht, wird die aufgabe aber leichter. nach wurzelkriterium muss
| ak | ^(1/k)
Hi, naja, ich hab es genau so gemacht wie du es gerade beschrieben hast, nur hab ich leider vorher Konvergenzradien berechnet und dann mal gleich das Reziproke von 7/10 genommen.
Reicht bei dem Beispiel das Wurzelkriterium aus? Ist doch eigentlich nur eine Art hinreichendes Kriterium und als notwendiges Kriterium müsste ich noch zeigen, dass die Folge die zur Reihe gehört Nullfolge ist und da weiß ich wegen dem i immer noch nicht wie es geht… Bis jetzt hat ja das i nicht gestört.
hi,
Reicht bei dem Beispiel das Wurzelkriterium aus? Ist doch
eigentlich nur eine Art hinreichendes Kriterium und als
notwendiges Kriterium müsste ich noch zeigen, dass die Folge
die zur Reihe gehört Nullfolge ist und da weiß ich wegen dem i
immer noch nicht wie es geht… Bis jetzt hat ja das i nicht
gestört.
„hinreichend“ ist hinreichend, d.h. ausreichend.
notwendige kriterien sind schwächere; die sind zwar notwendig, aber noch nicht hinreichend.
m.
d.h. wenn das Wurzelkriterium erfüllt ist, dann ist die Folge auch automatisch Nullfolge? Wieso? Bei der denkt/sieht man garnicht, dass sie Nullfolge ist. Wie könnte ich das mit dem Grenzwert machen falls ich müsste? Weiß nämlich trotzdem nicht wie man das zeigen könnte…
d.h. wenn das Wurzelkriterium erfüllt ist, dann ist die Folge
auch automatisch Nullfolge? Wieso?
weil das wurzelkriterium ein hinreichendes ist.
Bei der denkt/sieht man
gar nicht, dass sie Nullfolge ist. Wie könnte ich das mit dem
Grenzwert machen falls ich müsste? Weiß nämlich trotzdem nicht
wie man das zeigen könnte…
doch, das sieht „man“ schon. naja: mit mehr oder weniger erfahrung.
jeder einzelne dieser brüche (7k+i)/(2+10k) hat einen betrag kleiner als 1 und wird dann noch mit (wachsenden) k potenziert. wenn du dinge, die kleiner als 1 sind, potenzierst, werden sie immer kleiner. die brüche selber gehen gegen 7/10, aber ihre wachsenden potenzen „natürlich“ (?) gegen 0.
m.
m.
Aha, alles klar, vielen Dank für die vielen Antworten!
Hab jetzt, hoffe ich, alles verstanden.