hallo!
Ich hab eine Frage bzgl. dem Grenzwert von:
an = [(n^3+n^2+1)^(1/3)-(n^3+n)^(1/3)]/[sqrt(n^2-1) - 1]
wenn n–>oo läuft der Zähler gegen oo; der Nenner konvergiert gegen 0;
jetzt hab ich dann die unbestimmte Form oo/0.
Lässt sich das dann nur mit Hilfe des Satzes von Stolz weiter berechnen oder gibt es einen leichteren, verständlicheren lösungsweg??
mfG
Gregor
Hallo,
an = [(n^3+n^2+1)^(1/3)-(n^3+n)^(1/3)]/[sqrt(n^2-1) - 1]
wenn n–>oo läuft der Zähler gegen oo; der Nenner
konvergiert gegen 0;
Huch? Fuer n->inf geht auch sqrt(n^2-1) gegen Unendlich, die -1 aendert daran auch nichts mehr.
Gruesse,
Moritz
Hi!
Nach dem Kürzen des Bruchs (Division durch n) schaut das ganze folgendermaßen aus
an=Z/N
mit Z = (1 + 1/n + 1/n³)^(1/3) - (1 + 1/n²)^(1/3)
und N = (1 - 1/n²)^(1/2) - 1/n
für n gegen unendlich ergibt sich dann: Z->0 und N->1 also an->0
Ich muss aber gleich dazusagen: bei mir ist das Berechnen von Grenzwerten einer Folge schon ein paar Jährchen her also vielleicht sehe ich das ganze zu einfach 
fehler in angabe --> richtige angabe hier!!
hab soeben gesehen, dass ich da einen kleinen, aber durch aus schweren fehler in der angabe gemacht habe!
die lautet nämlich:
an = [(n^3+n^2+1)^(1/3)-(n^3+n)^(1/3)]/[sqrt(n^2-1) - n]
(im Nenner -n statt -1!!!)
frage bleibt natürlich die gleiche!
mfG
Gregor
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Servus,
hab soeben gesehen, dass ich da einen kleinen, aber durch aus
schweren fehler in der angabe gemacht habe!die lautet nämlich:
an = [(n^3+n^2+1)^(1/3)-(n^3+n)^(1/3)]/[sqrt(n^2-1) - n]
Es ändert nichts am Ergebis 0
Wenn man so wie bereits in einer Antwort beschrieben, den Bruch kürzt und danach erst den Grenzübergang durchführt, so kommt man bei diesem Beispiel nicht mehr auf „0/1“ sondern auf die unbestimmte Form „0/0“
Die Anwendung der D’Hospital’schen Regel führt aber zum Erfolg und zwar:
1.) Zähler und Nenner jeweils getrennt voneinander ableiten:
lim (an) = Z’/N’
n->oo
mit Z’ = (3n²+2n)/[3*(n³+n²+1)^(2/3)] - (3n²+1)/[3*(n³+n)^(2/3)]
und N’ = [2n / (n²-1)^(1/2)] -1
2.) kürzt man hier wieder, so ergibt sich nun also Grenzwert
lim (an) = 0/1 = 0
n->oo
liebe Grüße,
Bernd