Gegeben ist die Folge der Fibonacci-Zahlen. Die n-te Fibonaccizahl beträgt ((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^n*sqrt(5)).
Gesucht ist der Grenzwert der Zahlenfolge an/an+1.
Er beträgt 1/2*(sqrt(5)-1).
Aber wie findet man ihn?
Hallo
Mit Rechnen:smile:. Nein im ernst. Schreibe den Bruch an/an+1 aus. Die sqrt(5) kürzt sich raus und von den 2n bleibt nur ein 2 im Zähler übrig. Im Zähler und Nenner des Bruches klammerst Du (1+sqrt(5))^n bzw. (1+sqrt(5))^(n+1) aus. Sowohl im Zähler wie im Nenner bleibt ein Ausdruck der Form 1-b^n, bzw. 1-b^(n+1) mit einem |b|[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Im Zähler und Nenner des Bruches klammerst Du (1+sqrt(5))^n bzw.
(1+sqrt(5))^(n+1) aus. Sowohl im Zähler wie im Nenner bleibt
ein Ausdruck der Form 1-b^n, bzw. 1-b^(n+1)
Zähler und Nenner sind Summen und nicht Produkte!!
(1+sqrt(5)) auszuklammern bringt also nicht „(1-sqrt(5))^n“ bzw. „(1-sqrt(5))^(n+1)“.
Trotzdem muss man den Term noch umformen bevor man die Grenzwertsätze anwendet.
Aber wie??
Hallo
Es funktioniert genau so, wie ich es Dir gesagt habe. Im Zähler steht ein Ausdruck (a+b) mit a=(1+sqrt(5))^n und b=(1-sqrt(5))^n. Dann kannst Du a ausklammern erhältst a^n(1+(b/a)^n) (a/b) übernimmt hier die Rolle von b in der ersten Antwort und ist offensichtlich im Betrag kleiner als 1). Analog machst Du es im Nennern.
Übrigens: Ausklammern bezieht sich doch immer auf Summen und Differenzen und nicht auf Produkte. Ausklammern beudeutet aus einem Ausdruck (ab+ac) den Ausdruck a(b+c) zu „machen“. Und ausmultiplizieren wäre dann die umgekehrte Richtung.
Also noch viel Spass beim Nachrechnen „meines Beweises“.
Gruss Urs
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