Grenzwerte

Wissenschaft Physik
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Hallo!
Ich habe immer mal wieder Probleme mit Grenzwertaufgaben!
So dienge wie l´Hospital gehen super und sogar für dinge wie 1/k^2 hab ich mir ne recht gute abschätzsysthematik überlegt.
womit ich nur öfter probleme habe sind größere Bruchtherme.
Ich weiß nie was mein umformziel ist! prinzipiell versuche ich meißtens konstanten vor die summe zu ziehen und das in der summe dann auf eine bekannte reihe zurückzuführen… was mir leider so gut wie nie gelingt!
Ist das überhaupt die richtige denkweise?

momentan laboriere ich an der Aufgabe:
Summe(k=1 bis unendlich) (1 / 12k² - 3)
ich hab mal 1/12 rausgezogen und hab versucht irgendwie auf die harmonische reihe zu kommen, was mir bisher nicht gelungen ist!

kann mir jemand paar denkanstöße geben und weiß vielleicht jemand von noch mehr übungsaufgaben im netz? das wär echt riesig!

danke und grüße!

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Hallo,

Summe(k=1 bis unendlich) (1 / 12k² - 3)

der Schlüssel zur Lösung besteht in der Partialbruchzerlegung des Summationsterms (nach Ausklammerung von 3):

Σ 1/(12k2 – 3)    (Alle Summen laufen von k = 1 bis ∞)

= 1/3 Σ 1/(4k2 – 1)

PBZ von 1/(4k2 – 1) ergibt 1/2 (1/(2k – 1) – 1/(2k + 1))

= 1/3 Σ 1/2 (1/(2k – 1) – 1/(2k + 1))

= 1/6 Σ (1/(2k – 1) – 1/(2k + 1))

= 1/6 (Σ 1/(2k – 1) – Σ 1/(2k + 1))

= 1/6 (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … – (1/3 + 1/5 + 1/7 + …))

= 1/6 · 1

= 1/6

Die Partialbruchzerlegung von 1/(4k2 – 1) im einzelnen:

4k2 – 1 = (2k)2 –1 = (2k + 1) (2k – 1)

⇒ 1/(4k2 – 1) = A/(2k + 1) + B/(2k – 1) mit noch unbekannten Konstanten A, B

⇔ 1/((2k + 1) (2k – 1)) = A/(2k + 1) + B/(2k – 1)

⇔ 1 = A (2k – 1) + B (2 k + 1)

⇔ 1 = 2 k (A + B) – A + B

⇔ A + B = 0 und –A + B = 1

⇔ A = –1/2 und B = 1/2

⇒ 1/(4k2 – 1) = 1/2 (1/(2k – 1) – 1/(2k + 1))

Gruß
Martin