Hallo zusammen…
…ich hab mal eine Frage bezüglich zweier Grenzwerte:
Der erste ist lim (n -> unendl.) (1+ 1/n²) hoch n
Dass lim (n -> unendl) (1+1/n) hoch n = e ist, ist mir bekannt, der von mir gesuchte soll aber 1 sein. Warum?
Der zweite wäre:
lim (x -> +0) x²lnx = ??
Wie gehe ich das an? Satz von L´Hospital??
Greetz+Thx, Flox
Hallo, Flox!
Dein erster Grenzwert ist 1. Betrachte dazu die folgende Abschätzungskette:
1 = 1^n inf.
Die zweite Sache geht so:
Es gilt schon lim(x*log(x))=0 für x->+0.
Man schreibe x*log(x) als log(x) / ( 1/x ) und wende die Regel von Bernoulli (äh, l’Hospital) an.
Dein Grenzwert folgt nun direkt daraus, oder Du gehst nochmal analog vor.
Wie gehe ich das an? Satz von L´Hospital??
Wenn Du schon selbst die Ideen hast, warum probierst Du es dann nicht einfach??
CU,
Frank.
Hallo, Flox!
Hallo Frank…
Dein erster Grenzwert ist 1. Betrachte dazu die folgende
Abschätzungskette:1 = 1^n inf.
Aber diese Schlussfolgerung dann leider nicht mehr!!
Seit wann geht 2n gegen 1 für n -> unendlich???
Das wäre mir ja mal absolut neu, dass 2*2*2*2… irgendwann mal gegen 1 gehen sollte für unendlich viele 2er-Faktoren…
Die zweite Sache geht so:
Es gilt schon lim(x*log(x))=0 für x->+0.
Man schreibe x*log(x) als log(x) / ( 1/x ) und wende die Regel
von Bernoulli (äh, l’Hospital) an.
Hmm…da hab ich nicht daran gedacht, dass man Zähler und Nenner dann zusammenfassen darf, d.h. aus (1/x) / (-1/x²) dann -x machen darf…ich war der Meinung, dass man nach der jeweiligen Ableitung auch den jeweiligen Grenzwert bestimmen muss. Aber wenn man zusammenfassen darf, ist´s ja recht einfach…
Aber der erste Grenzwert ist mir nun immer noch nicht klar…
Gruß, Flox
(*unterdentischkriech*)
Hallo, Flox…
Äh, ja, da war ich wohl leicht abwesend als ich das geschrieben habe…
Ich hab immer an n-te Wurzel aus 2 gedacht…
Okay, so geht es (hoffe ich…):
(1+1/n^2)^n
Beweis falsch
(1+1/n^2)^n
Yo…das seh ich auch so…aber hast Du vielleicht einen Tipp, der mich meinem Grenzwert einen Schritt näher bringt??
Gruß, Flox
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Yo…das seh ich auch so…aber hast Du vielleicht einen Tipp,
der mich meinem Grenzwert einen Schritt näher bringt??
Hi,
klang schonmal an, nimm einfach die n-te Wurzel der n-ten
Potenz. Das fuehrt dann auf die n-te Wurzel von e. Um es schoen
uebersichtlich zu machen, betrachte den Logarithmus der Folge
und beachte n^2 log(1+1/n^2) konvergiert gegen 1.
Ciao Lutz
PS: Auch die binomische Geschichte laesst sich retten, man muss
nur die restlichen Summanden durch ein Vielfaches von 1/n
abschaetzen. Dann ist die obere Schranke eben sowas wie 1+3/n
Hallo zusammen
Die Abschätzung oben war schon ganz ok, nur wurde zum Schluß bei der letzten Ungleichung „zu grob“ abgeschätzt.
Erinnert man sich an den Beweis, wie die Konvergenz der Folge
(1+1/n)^n
gezeigt wurde, so weiß man, daß diese Folge monoton wachsend und beschränkt ist.
==> (1+1/n)^n
Franks Grenzwert ist schon richtig, nur der Beweis ist falsch.
Am einfachsten ist es wohl folgendermaßen zu zeigen:
Aus der Bernoullischen Ungleichung
(1+x)n > 1 + nx für x > -1
folgt (1-1/n2 )n > 1 - 1/n .
Nun ist
(1 + 1/n2 )n = 1/(1-1/(n2 +1))n .
Es genügt, die Konvergenz des Nenners gegen 1 zu zeigen.
Das folgt aus der Beziehung
1 > 1/(1-1/(n2 +1))n >1/(1-1/n2 )n
> 1 - 1/n.
Hallo Helga,
Dein Beweis ist nicht schlüssig. Du kannst nicht n in einem Teil der Formel gegen Unendlich gehen lassen, im anderen Teil aber nicht.
Gruß Cicero.
Dein Beweis ist nicht schlüssig. Du kannst nicht n in einem
Teil der Formel gegen Unendlich gehen lassen, im anderen Teil
aber nicht.
Hallo Cicero,
Das hab’ ich ja auch gar nicht gemacht.
Vielleicht war ich mit meinen Ausführungen etwas zu schnell?
Also, ich erläutere meine Argumentation nochmal etwas ausführlicher:
Ich habe verwendet, daß bekanntermaßen (1+1/n)^n monoton gegen e wächst und zwar von unten. Oder anders ausgedrückt: e ist für die Folge (1+1/n)^n eine obere Schranke und zwar sogar die kleinste obere Schranke (limes inferior). Hieraus folgt, daß für alle n element N gilt:
(1+1/n)^n e funktionieren. Sorry, hätte also genausogut z.B. 3 als obere Schranke verwenden können.)
Außerdem habe ich noch die Monotonie der Wurzelfunktion verwendet:
wenn (0=n_0 gilt
a_n
d’accord
Hallo Helga,
einverstanden, ist auch einfacher als mein Beweis.
Gruß Cicero.
Hi Helga…
…jetzt ist mir alles klar.
Vielen Dank (auch an alle anderen, die sich mit meiner Frage beschäftigt haben)…
Gruß, Flox