Hallo zusammen!!
Wir nehmen gerade in der Schule das Thema Grenzwerte durch. Für gebrochen rationale Funktionen ist mir das auch alles klar nur wie sieht das aus mit trigonometrischen Funktionen?
z.B:
lim x->0 (sin(2x)/x)
Kann ich da einfach x->0 einsetzten.
So kann ich das vieleicht mit Taschenrechner machen.
Aber ohne hmmm…
Ich hab schon etwas im Internet gefunden nur sind das alles Beispiele ohne vernünftige Erklärung.
Geht das irgendwie mit Folgen oder irgendwas über über eine Regel von L’Hospital?
Kann mir das irgendjemand in Worte fassen
Mfg spongebob
lim x->0 (sin(2x)/x)
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Geht das irgendwie mit Folgen oder irgendwas über über eine
Regel von L’Hospital?
Hi,
ja sowas macht man über L’Hospital. Der sagt ungefähr Folgendes:
Du hast einen Quotienten wie in deinem Fall, bei dem jeweils der Nenner und der Zähler gegen 0 geht, für x gegen irgendwas. Sind die beiden Funktionen im Nenner und Zähler differenzierbar, und die Ableitung der Fnkt. im Nenner nicht null, so ist der Grenzwert der Ableitung(wobei du nicht den Quotienten als ganzes ableitest, sondern die einzelnen Funktionen) gleich dem Grenzwert der ursprünglichen Funktion:
lim x->a f(x)/g(x)=lim x->a f’(x)/g’(x)
In deinem Fall ist die Ableitung: 2*[cos (2x)]/1
geht x gegen 0, so geht cos gegen 1.
D.h lim x->0 [sin(2x)/x]=2
Man kann L’ Hospital so oft anwenden, wie man will. D.h man könnte wieder ableiten und wieder ableiten, solange die Voraussetzungen erfüllt sind, der Grenzwert ändert sich nicht.
Das selbe geht, falls der Grenzwert der Funktion im Nenner unendlich oder minus unendlich ist.
MfG