Guten Tag,
wie berechne ich Grenzwerte wie
Summe von k=1 bis unendlich (1/(3^k))
Bei Summen die mit einem Recht großen Bruch (z.B. 1/3) Starten und die folgenden Summanden rasch kleiner werden lässt es sich ja noch relativ leicht abschätzen indem man die ersten 3-4 Summanden addiert…
Aber bei Summen wie
Summe von k=1 bis unendlich ((5^k)/(8^k))
wird das schon schwieriger. Gibt es hier ein generelles Vorgehen?
Danke!
gruß
Guten Tag,
Summe von k=1 bis unendlich ((5^k)/(8^k))
wird das schon schwieriger. Gibt es hier ein generelles
Vorgehen?
Ein generelles Vorgehen gibt es nicht. Man kann sich die Ergebnisse ansehen und versuchen, eine Gesetzmäßigkiet als Formel zu finden (und diese dann induktiv beweisen). Oder man bemüht ein Nachschlagewerk. 
Gruß
Torsten
Hallo Torsten!
kannst du mir vielleicht einen Tipp über das Vorgehen bei einer Aufgabe
wie dieser und/oder bei etwas wie 1/(const.)^k geben?
Wär super!
Viele Grenzwerte kann ich mittlerweile berechnen, nur diese (optisch) kleinen Dinger machen mir immense Schwierigkeiten!
Danke!
gruß
habs raus danke trotzdem!
gruß
Hallo,
kannst du mir vielleicht einen Tipp über das Vorgehen bei
einer Aufgabe
wie dieser und/oder bei etwas wie 1/(const.)^k geben?
Wenn ich die ersten Glieder der Folge aufschreibe und hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra#…
mal nach der Summenformel für die geometrische Reihe (const.)^k gucke, komme ich auf
1 - c<sup>k</sup>
----------
(1 - c) c<sup>k</sup>
Wenn ich mich nicht verrechnet habe. Du kannst ja mal versuchen die Formel zu beweisen und den Grenzwert für k->unendlich zu bilden.
Gruß
Torsten
etwas wie 1/(const.)^k geben?
Das ist Null Problem, wenn Du eine ziemlich wichtige Reihe kennst, nämlich die geometrische Reihe.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Es gilt („Geometrische-Reihe-Formel“): Σk = 0…n qk = (1 – qn + 1) / (1 – q)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
⇒ Σk = 1…∞ 1/ck
= –1 + Σk = 0…∞ (1/c)k also q = 1/c
= –1 + (1 – (1/c)∞) / (1 – 1/c) (1/c)∞ = 0
= –1 + 1/(1 – 1/c)
= 1/(c – 1)
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Gruß
Martin
Noch ein letzter Grenzwert(hoffentlich )
Summe(k=o -> oo) ((-1)^k * (pi/4)^2k)
soll sein(laut Lösung) 16/(16*pi²)
die Summe sieht mir so aus wie der arctan(pi/4) abgeleitet.
müsste ja dann 1/(1+pi²/16) sein?!
wo ist mein fehler?
danke!
gruß
soll sein(laut Lösung) 16/(16*pi²)
Wenn in einem Mathebuch hinter dem Ausdruck 16/(16 · pi²) nicht „= 1/pi²“ steht, liegt ein Druckfehler nahe, und…
die Summe sieht mir so aus wie der arctan(pi/4) abgeleitet.
müsste ja dann 1/(1+pi²/16) sein?!
…hier wird deutlich, worin er besteht: Das „·“ sollte eigentlich ein „+“ sein: 16/(16 + pi²).
Gruß
Martin