Hallo Leute,
Wir haben heute mit den Grenzwertsätzen begonnen und sollen diese beweisen.
Ich wollte mit dem folgenden beginnen, komme aber nicht richtig weiter.
lim(a+b)=lim\ a+lim\ b\
Beweis
|(a_{n}+b_{n})-a+b|
a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}
b=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}
Stimmt mein bisheriges vorgehen und kann mir jemand einen Tipp geben was der nächste schritt ist?
Gruß Christof
Hey Christof,
du hast ja noch keine großartigen Schritte in deinem Verfahren gemacht 
Deswegen ist ja noch alles richtig.
Nun solltest du versuchen, deinen Ausdruck umzuschreiben und dann kannst du die Dreiecksungleichung anwenden.
Dann solltest du es eig schon haben.
Gruß René
hi,
Wir haben heute mit den Grenzwertsätzen begonnen und sollen
diese beweisen.
Ich wollte mit dem folgenden beginnen, komme aber nicht
richtig weiter.
lim(a+b)=lim\ a+lim\ b\
das versteh ich schon mal nicht. ist das das, was zu beweisen ist, ist das eine annahme, ist das eine behauptung?
und wofür stehen a und b? für folgen (wo sind dann die indices?), für die jeweiligen grenzwerte?
Beweis
|(a_{n}+b_{n})-a+b|
da fehlt mindestens einmal eine klammer um die beiden grenzwerte.
a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}
b=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}
Stimmt mein bisheriges vorgehen und kann mir jemand einen Tipp
geben was der nächste schritt ist?
ich seh auch noch nicht viel vor_gehen_.
ich denk, du musst die tatsache, dass die beiden folgen konvergieren, in „epsilontik“ formulieren und das dann - wie schon vom vorredner gesagt - auf die abstandsgleichung mithilfe einer dreiecksungleichung anwenden.
es is aber relativ schwierig …
grundidee: wenn a(n) gegen a geht und b(n) gegen b, dann ist für jedes epsilon > 0 ab einem bestimmten n der abstand von a(n) zu a kleiner als epsilon/2 und ab einem bestimmten (anderen!) n der abstand von b(n) zu b ebenfalls kleiner als epsilon/2.
wenn man jetzt „das größere der beiden n“ nimmt …
hth
m.
Hossa
Wir gehen davon aus, dass (a_n) und (b_n) zwei konvergente Folgen von reellen Zahlen sind. Für ihre Grenzwerte soll gelten:
\lim_{n\to\infty}(a_n)=a\quad;\quad\lim_{n\to\infty}(b_n)=b
Wir wählen ein \varepsilon>0 beliebig, aber fest. Dann ist auch
\frac{\varepsilon}{2}>0
Wegen der Konvergenz der beiden Folgen (a_n) und (b_n) gibt es jeweils eine natürliche Zahl N_a und N_b, so dass gilt:
\left|a_n-a\right|
\left|b_n-b\right|
Mit der Dreiecksungleichung
|x+y|\le|x|+|y|\quad\mbox{fuer}\quad x,y\in\Re
folgt daraus für alle n >= max{ N_a, N_b }:
\left|(a_n+b_n)-(a+b)\right|=\left|(a_n-a)+(b_n-b)\right|\le\left|a_n-a\right|+\left|b_n-b\right|
Daher gilt:
\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}(a_n)+\lim_{n\to\infty}(b_n)
Viele Grüße