tue mich verdammt schwer mit der Suche nach den Grenzwerten!!!
ZB. ist der Konvergenzradius der Potenzreihe von e^x = 1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^4/4!)+… zu untersuchen:
Es ist angegeben:
a(n) = 1/n! und a(n+1) = 1/(n+1)!
lim(n+1)=unendlich
Woher kommt (1/n!) und 1/(n+1)und wie wird es aus der Potenzreihe gelesen!
vielen Dank, Karl
tue mich verdammt schwer mit der Suche nach den Grenzwerten!!!
ZB. ist der Konvergenzradius der Potenzreihe von e^x =
1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^4/4!)+… zu untersuchen:
Es ist angegeben:
a(n) = 1/n! und a(n+1) = 1/(n+1)!
lim(n+1)=unendlichWoher kommt (1/n!) und 1/(n+1)und wie wird es aus der
Potenzreihe gelesen!
Hallo Karl !
Nachdem hier keiner antwortet übernehm ich das mal.
Also, allgemein hat eine Potenzreihe die Form
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+…
Dabei nennt man x0 den Entwicklungspunkt und die ai Koeffizienten.
So eine Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden, es kann aber trotzdem sein, dass die Summe dieser unendlich vielen Summanden kleiner als unendlich ist. Man sagt dann, dass die Reihe konvergiert.
Es kann sein, dass eine Reihe für bestimmte x-Werte konvergiert und für andere nicht, d.h. eine Reihe hat einen Konvergenzbereich, also einen Bereich in dem die x-Werte liegen für die die Reihe konvergiert.
Dieser Konvergenzbereich ist ein Intervall im Eindimensionalen, ein Kreis im Zweidimensionalen, eine Kugel im Dreidimensionalen, usw.
Der Mittelpunkt des Konvergenzbereichs ist immer der Entwicklungspunkt x0.
Netterweise kann man den Konvergenzradius einer Reihe - also die Ausdehnung des Konvergenzereichs um den Entwicklungspunkt - anhand der Koeffizienten berechnen (siehe Satz von Cauchy-Hadamard http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe).
Am besten ließt du dir diesen Satz mal durch.
Dann verstehst du auch woher das 1/n! kommt.
In deinem Beispiel der Potenzreihe von ex ist nämlich der Entwicklungspunkt einfach x0=0 und die Koeffizienten an=1/n!.
Das kommt daher, dass die Potenzreihe von ex gleichzeitig die Taylorreihe von ex ist.
Ich denke das ist erst mal genug. Ich hoffe du kommst damit zurecht. Ansonsten frag einfach nochmal.
Grüße !
hendrik