Hallo,
- Zum Thema Heisenbergsche Unschärferelation
- In meinem Buch wird erklärt das beim gleichzeitigem messen
des Wertes für eine Koordinate und den Impuls eines Teilchens
einer der Werte ungenauer wird. Die Formel dafür ist: Δx *
Δp_x ≥ h Wobei x die Koordinate ist, p_x der Wert des Impulses
des Teilchens und h das Plancksche Wirkungsquantum.
Wie kann ich das verstehen, wenn ich z.B. den Wert 2 für die
Koordinate habe ändert das dann den Wert für den Impuls und
das ist dann gleich oder grösser als h? Wie kann man mit der
oben genannten Formel rechnen?
Δx und Δp sind die Unschärfe von Ort und Impuls, nicht Ort oder Impuls selbst - wenn du weißt, wie genau du den Ort eines Teilchens gemessen hast, dann kannst du mit der Formel abschätzen, wie genau du gleichzeitig den Impuls messen kannst. Genau genommen gibt es mehrere Varianten der Unschärferelation - diejenige von Heisenberg für die gleichzeitige Messung, und eine zweite Definition (σ_x*σ_p ≥ ħ/2) für Messungen an identisch präparierten Teilchen.
Können sie mir ein Beispiel geben?
Um sich die Unschärferelation „anschaulich“ vorzustellen, kann man die Wellenfunktion im Ortsraum betrachten, z.B. ein Gaußsches Wellenpaket:
Stelle dir ein Teilchen vor, welches im Ortsraum scharf definiert ist, dessen Wellenfunktion also durch einen scharfen Peak bestimmt ist. Wenn du den Ort misst, dann findest du das Teilchen mit hoher Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Maximums der Wellenfunktion - mit zunehmendem Abstand sinkt die Wahrscheinlichkeit schnell. Um den Impuls dieses Teilchens zu bestimmen, muss man die partielle Ableitung nach dem Ort bilden: dψ/dx*ħ/i. Der Wert der Ableitung einer Gaußkurve ändert sich aber in Abhängigkeit vom Ort, so dass man den Wert nicht einfach so für die gesamte Wellenfunktion angeben kann, sondern nur einen Erwartungswert und eben die Streuung der Werte um den Erwartungswert - die Unschärfe.
Analog dazu kann man sich ein weit ausgedehntes Gaußsches Wellenpaket vorstellen. Die Ableitungen, die du mit dem Impulsoperator berechnen kannst, sind betragsmäßig jetzt viel kleiner als für den ersten Fall - man kann den Impuls deutlich genauer angeben. Allerdings kann sich das Teilchen (entsprechend der ausgedehnten Wellenfunktion) in einem viel größerem Gebiet aufhalten.
Weiter steht im Buch das man statt der Koordinate und dem
Impuls, Energie und die Zeit die ein Teilchen in diesem
Energiezustand verweilt nehmen kann (ΔE * Δt ≥ h) oder die
Energie und die Frequenz eines Teilchens (Δx * Δp_x ≥ h),
Experimentell kann man das anhand der Spektralllinien
beweisen.
Welchen Zusammenhang haben die Spektralllinien mit dem oben
genannten Formeln
Mit einer Blitzlampe kann man einige Atome/Moleküle eines Gases in einen energetisch angeregten Zustand überführen, td.h. ein Elektron in ein höheres Orbital heben. Nach einer bestimmten Zeit fallen die angeregten Elektronen wieder in ihren Ausgangszustand zurück und senden dabei ein Photon aus, welches man messen kann. Vergleichbar mit radioaktiven Zerfällen, bei denen die verschiedenen Isotope jeweils unterschiedliche Halbwertszeiten besitzen, findet die Relaxation der Elektronen aus dem angeregten Energiezustand auch unterschiedlich schnell statt. Die Geschwindigkeit hängt von der Art des Atoms und dem betrachteten Übergang ab. Aus der Unschärferelation kann man dann schließen, dass die Halbwertsbreite der zugehörigen Spektrallinie umso größer ist, je kurzlebiger der Zerfall ist. (Es gibt allerdings noch weitere Mechanismen, welche die spektrale Halbwertsbreite erhöhen - die Unschärferelation kann diese nicht alleine erklären.)
und wieso ist in jeder Formel das
Plancksches Wirkungsquantum aufgeführt.
Schau dir einfach mal die Einheiten an - dann siehst du, warum die Einheit so aussehen muss. Wenn man sich den Impulsoperator anschaut, so kommt dort ħ drin vor - der Rest ist Mathematik (die Herleitung findet man im Internet). Und die Energie-Zeit-Unschärfe lässt sich ebenfalls aus der Orts-Impuls-Unschärfe herleiten.
Wann bekomme ich bei einer Rechnung das ist gleich h und wann
bekomme ich ist grösser als h Ergebnis heraus, wie rechnet man
mit diesen Formeln?
Wie gesagt, kann man mit diesen Formeln den die Unsicherheiten bei der gleichzeitigen Messung der zwei Größen Ort/Impuls bzw. Energie/Zeit abschätzen. Gleichheit gilt nur unter Idealbedingungen. Bei dem Beispiel der Spektrallinien: sobald sich die Atome/Moleküle des Gases bewegen (was sie ja für T>0 immer machen), dann führt der Doppler-Effekt zu einer
- Zum Thema Wellenfunktion
- Die Wellenfunktion beschreibt die Bewegung eines Teilchens
in den Quantenmechanik. Sie beinhaltet 3 Variablen und die
Zeit (ψ(x,y,z,t)). Das Quadrat des Moduls dieser Funktion
|ψ||² gibt die Wahrscheinlichkeit der Position an und diese
nennt man Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Für ein
stationären Zustand ist die Wahrscheinlichkeit Δω das sích ein
Teilchen das durch die Wellenfunktion beschrieben wird in
einem Volumen ΔV befindet durch diese Formel gegeben - Δω =
|ψ||² * ΔV.
Welche Einheiten haben diese Werte? Ich weiss das die Dichte
durch Gramm pro Kubikzentimeter und das Volumen Kubikmeter
doch welche Einheit hat die Wellenfunktion in dieser Formel,
wie kann man mit ihr rechnen, können sie mir bitte ein
Beispiel geben?
Δω ist eine Wahrscheinlichkeit - diese ist einheitenlos. ΔV ist ein Volumen, hat also die Einheit m³. Dann ist es leicht, die Einheit von ψ auszurechnen. Diese hängt von der Anzahl der Freiheitsgrade ab (also Dimension*Anzahl Teilchen). In dem hier von dir betrachteten 3D-Fall kommt eine „krumme“ Einheit m^(-3/2) raus. Mit der Massendichte hat das nicht wirklich viel zu tun…
- Zum Thema Mikroteilchen im Potentialtopf
- Ein Potentialtopf ist ein Gebiet im Raum in dem die
Potentielle Energie E_p eines Teilchens kleiner ist als E_p
max.
Was bedeutet das? Wie weiss ich wie hoch die E_p max eines
Teilchens ist?
Ich verstehe nicht so ganz, was du hiermit sagen willst. Ein Potentialtopf ist ein begrenzter Raumbereich mit einem lokalem Minimum des Potentials (eines Teilchens). Mit der potentiellen Energie hat das erstmal noch nichts zu tun. Diese kommt erst ins Spiel, wenn es um die Frage geht, ob ein Teilchen in dem Potentialtopf gebunden werden kann - und das ist dann der Fall, wenn seine Energie niedriger als das umgebende Potential ist.
Die Wellenfunktion ändert sich Potentialtopf durch die
harmonische Funktion und die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen
im Potentialtopf zu finden hängt vom Wert der Energie ab und
ist überall gleich.
Was du hier schreibst, ergibt für mich absolut keinen Sinn…
Ein Teilchen im Potentialtopf lässt sich durch seine Wellenfunktion beschreiben. Diese hängt von der konkreten Gestalt des Potentials ab. Wenn es sich um einen Potentialkasten handelt, bei dem das Potential durch eine Stufenfunktion beschrieben werden kann, so lässt sich die Wellenfunktion aus harmonischen Funktionen zusammensetzen - an den Potentialsprüngen ist sie aber nicht zweimal differenzierbar. Da die Wellenfunktion die Schrödingergleichung erfüllen muss, kann sich das Teilchen dabei nur in diskreten Energieniveaus aufhalten - von denen es im endlichen Potentialtopf nur endlich viele gibt (manchmal auch gar keins). Je nachdem, wie nah die Energie eines gebundenen Teilchens an dem Wert des umgebenden Potentials ist, umso weiter ist die Wellenfunktion in die Barriere ausgedehnt - und umso kleiner ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Potentialtopf. Dabei handelt es sich allerdings nicht um eine ortsabhängige Größe, so dass die Aussage, der Wert sei überall gleich, unsinnig ist.
Wie gibt mir die Energie des Teilchens Aufschluss über seine
Position?
Die Position kannst du gar nicht wissen - nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Wenn du die Energie und die Potentialverteilung kennst, kannst du daraus ggf. auf Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit schließen (aber nur, wenn der Zustand nicht entartet ist).
Der Tunneleffekt trifft dann ein wenn ein Teilchen den
Potentialtopf überwindet.
Was kann ich darunter verstehen und wann weiss ich wann der
Tunneleffekt aufgetreten ist?
Nicht den Potentialtopf, sondern eine Barriere (ggf. zwischen zwei Potentialtöpfen) muss das Teilchen überwinden - dann kann man von Tunneln sprechen. Die Wellenfunktion wird in der Barriere abgeschwächt, aber das Teilchen besitzt dennoch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, sich auf der anderen Seite der Barriere aufzuhalten - diese kann man anhand der Wellenfunktion abschätzen. Wenn du ein Teilchen auf der einen Seite der Barriere aussendest, und du detektierst es auf der anderen, dann ist es durch die Barriere getunnelt - der Tunneleffekt ist aufgetreten.
Alex
