Hallo!
Ich suche vergeblich eine Internetseite, oder eine FÜR ANFÄNGER VERSTÄNDLICHE ERKLÄRUNG, was eine Gruppe, ein Isomorphismus bzw. isomorphe Symmetriegruppen sind!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Martina
Auch hallo.
Hallo!
Ich suche vergeblich eine Internetseite, oder eine FÜR
ANFÄNGER VERSTÄNDLICHE ERKLÄRUNG, was eine Gruppe, ein
Isomorphismus bzw. isomorphe Symmetriegruppen sind!Kann mir jemand weiterhelfen?
matheplanet.com - suche nach den Schlagwörtern vielleicht ?
Z.B. http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/searchb…
Oder was ganz hartes wg. http://www.math.ethz.ch/~gruppe4/Geometrie_MATH_WS02…
Obwohl damit eigentlich bestimmte Rechenvorschriften verlangt werden.
isomorph heisst übrigens ‚gleiche Gestalt‘ (oder ?): http://www.physik.fu-berlin.de/~timm/gr04/gruppenthe…
HTH
mfg M.L.
hi,
eine gruppe ist eine menge von objekten mit einer rechenvorschrift, die bestimmten gesetzmäßigkeiten genügt.
nennen wir die menge M, die rechenvorschrift *.
die rechenvorschrift muss so sein, dass es egal ist, wie man klammern setzt („assoziativität“): d.h. (a * b) * c = a * (b * c)
es muss ein element n geben, das in bezug auf die rechenvorschrift „neutral“ ist:
d.h.: n * a = a für alle a aus M
und es muss zu jedem a aus M ein inverses element a’ geben, sodass
a * a’ = n
wenn darüber hinaus noch a * b = b * a für alle a und b aus M gilt, spricht man von einer kommutativen oder abelschen gruppe.
bekannte beispiele sind die ganzen zahlen mit der addition:
neutrales element ist 0, invers zu a ist jeweils -a.
(ich nenn die gruppe hier (Z, +).
auch die reellen zahlen (ohne 0) (oder die bruchzahlen ohne 0) mit der multiplikation sind eine gruppe. neutrales element ist 1; inverse elemente sind die kehrwerte.
auch alle ganzzahligen potenzen einer positiven zahl sind mit der multiplikation eine gruppe. sie sind eine untergruppe der bruchzahlen.
ich nenn das hier (Pot(a), *)
es gibt noch viele andere beispiele.
isomorphismen sind abbildungen zwischen gruppen, die die rechenvorschrift „respektieren“ bzw. „erhalten“. ob du in einer gruppe rechnest und dann per isomorphismus das ergebnis in die andere gruppe überträgst oder ob du per isomorphismus die „angaben“ in die andere gruppe überträgst und dann dort rechnest, bleibt sich gleich.
einen netten isomorphismus gibt es z.b. zwischen den gruppen (Z,+) und (Pot(k), *), wenn du jeder ganzen zahl n die potenz k^n zuordnest.
ob du dann rechnest n + m und danach k^(n + m) bildest oder ob du k^n und k^m bildest und dann deren produkt berechnest, ist gleich.
du kannst also genau so gut zwischen ganzen zahlen addieren wie zwischen potenzen multiplizieren.
das ist die leistung eines isomorphismus.
hope that helps.
m.
p.s.:
den artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie in wikipedia find ich ganz gut, wenn auch für anfänger etwas umfangreich.
Ich suche vergeblich eine Internetseite, oder eine FÜR
ANFÄNGER VERSTÄNDLICHE ERKLÄRUNG, was eine Gruppe, ein
Isomorphismus bzw. isomorphe Symmetriegruppen sind!Kann mir jemand weiterhelfen?
Martina
Hallo,
ich probiere mal, die Isomorphie anschaulich zu erklären:
Wenn du eine Gruppe hast, und mit dieser rechnest, und du tauschst jede Zahl durch eine andere Zahl, und jeden Operator durch einen anderen (also z.B. jedes ‚+‘ durch ein ‚*‘ oder so), und wenn dann die Rechenvorschriften mit den neuen Zahlen immer noch gelten, dann sind die neuen Zahlen mit den neuen Operatoren isomorph zu den alten.
Ein sehr einfaches Beispiel: du willst wissen, auf wie viele arten du die Buchstaben a, b, und c permutieren kannst, also wie viele dreibuchstabige Wörter du hinschreiben kannst, die aus je einem a, b, und c bestehen. Dann kannst du auch statt dem a eine 1, statt dem b eine 2 und statt dem c eine 3 schreiben, und fragen, wie viele dreistellige Zahlen du aus 1, 2 und 3 bilden kannst. Wieso? weil es eine eindeutige Zuordnung dazwischen gibt:
123 entspricht abc
132 entspricht acb
213 entspricht bac
...
(übrigens: es sind 6)
Grüße,
Moritz
Hallo Martina,
ich hab so das Gefühl in der Mathematik studieren wir abstrake Objekte - in diesem Fall Gruppen. Dabei kommt man schnell auf das Problem muss ich jetzt jede Gruppe einzeln anschaun um Gesetzmäßigkeiten herauszufinden - oder besser gesagt wann sind „im Prinzip“ zwei Gruppen gleich. Bei Mengen war das ja noch leicht:
Zwei Mengen sind gleich, wenn alle Elemente gleich sind.
Bei Gruppen ist das der Isomorphismus. Du brauchst dann nur noch „wenige“ Gruppen betrachten, weil du mit einer Gruppe schon alle isomorphen Gruppen erledigt hast.
Du kannst dir das vielleicht so vorstellen: Du suchst den Kern an Information der die Gruppe ausmacht - und um ein allgemeines Resultat auf eine spezielle Gruppe anzuwenden, setzt du quasi eine Brille auf und betrachtest statt den Abstrakta nun Zahlen/Matrizen usw. (So wie der Begriff „Baum“ mit „Tanne“ oder „Fichte“ spezialisiert wird.)
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Was nun Symmetriegruppen angeht: Wenn du ein Objekt anschaust - worauf achtet man - in der Mathematik - was kann ich tun mit dem Ding, ohne dass ich es dabei verändere.
In der Vektorrechnung sind das lineare/affine Abbildungen - konkret zeichne ein Quadrat in ein Koordinatensystem und zeichne das Quadrat nochmals nachdem du eine lineare Abbildung darauf angewendet hast, spiel das ganze auch mit invertierbaren, linearen Abbildungen durch - schon hast du deine erste Symmetriegruppe - denn du kannst zwei inv.lin.Abb hintereinanderausfühern (das ist jetzt dein „MAL (*)“) es gibt inverse Gruppenelemente, eine Einheit(=etwas das nix tut im bezug auf die Gruppenoperation) die Identitätsabbildung, und klammern setzten funktioniert auch ohne Probleme (Assoziativität).
Analog kannst du auch topologische Räume und Homöomorphismen(= Iso eines topologischen Raumes) als Symmetrien betrachten.
nun zu den Symmetriegruppen die du vielleicht schon kennst - nimm einen Quadrat und schau was du damit tun kannst sodass er trotzdem noch gleich aussieht:
(i) du kannst es drehen (um 90°, 180°, 270°=-90°, 360°=0°=Id)
(ii) und Spiegelung an den Diagonalen bzw den Seitenmitten gegenüberliegender Seiten
Das sind die Symmetrien des Quadrats (ich hoffe ich hab keine vergessen).
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So nun zu den isomorphen Symmetriegruppen (ich weiss zwar nicht was das ist aber logischerweise müssten die): Symmetriegruppen sein die zu einander isomorph sind - also der Gruppentheoretiker kann/will nicht zwischen ihnen unterscheiden.
ich hoffe das ganze wird überhaupt gelesen (so lang ist das) und hilfreich soll es auch noch sein - naja dann ciao Martin