Hallo!
Schaffe die folgenden 2 Aufgaben nicht mal ansatzweise - kann mir irgendjemand Anregungen dazu geben?
- G={xeR: -c
Kann es sein, dass die Definition der Verknüpfung in der Gruppe nicht stimmt? Prüf das bitte nochmal nach.
Ganz allgemein musst Du für eine Gruppe folgendes zeigen (ich benutze als Zeichen für die Verknüpfung °)
-
Abgeschlossenheit:
Für alle x und y aus G muss auch x°y in G enthalten sein (hier betragsmäßig kleiner c sein)
Dazu kannst Du zwei Ungleichungen aufstellen: x°y-c und umformen. Aufpassen musst du, weil x und y auch negative Werte annehmen können und sich bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen ändert. Du musst also ggf. eine Fallunterscheidung machen. -
Assoziativität:
Für alle x,y und z aus G muss gelten: (x°y)°z=x°(y°z). Es darf also keine Rolle spielen, ob Du von links oder rechts anfängst zu rechnen.
Dazu kannst Du einfach beide Ausdrücke ausmultiplizieren und kannst sie dann vergleichen. -
Neutrales Element:
Es muss ein Element e aus G geben, so dass für alle Elemente x aus G gilt: e°x = x°e = x.
Dazu formst Du den Ausdruck x°e=x um, bis Du eine Zahl (oder einen Ausdruck in dem nur noch konstante Ausdrücke stehen) rausbekommst.
e ist unabhängig von x immer gleich! -
Inverses Element:
Für jedes Element x aus G gibt es ein Element x^(-1) aus G, so dass x°x^(-1)=x^(-1)°x=e ist.
Dazu löst Du x°y=e nach y auf und erhälst einen Ausdruck der von x abhängt. -
Kommutativität:
Für alle x und y aus G gilt: x°y=y°x.
Dazu kannst Du beide Ausdrücke ausmultiplizieren und vergleichen. Oft ist das allerdings nicht nötig, weil die Verknüpfung aus die „normale“ Addition und Multiplikation in den reellen Zahlen zurückgeführt wird, die ja kommutativ sind, und man dann argumentieren kann, das daraus die Kommutativität auch für ° folgt. Das sollte man allerdings nur tun, wenn man weiß, was man schreibt.
Zu der Körperaufgabe schreib ich später noch etwas (wenn es kein anderer inzwischen tut), wenn ich etwas mehr Zeit habe.
Ich nehme zwar an, dass Du die Definition eines Körpers hast, aber ich verweise trotzdem nochmal auf http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Mathemat….
Gruß Yelmalio
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
also um nachzuweisen, dass es sich um eine Gruppe handelt, musst du die Gruppenaxiome nachrechnen also (* ist deine Verknüpfung)
1.Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a,b e G gilt
a * b e G
2.Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt a*(b*c)=(a*b)*c
3.Neutrales Element: Für alle Gruppenelemente a gilt
a*e=e*a=a
4.Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement a existiert ein Element â mit
a*â=â*a=e
jetzt zu deinem speziellen Beispiel:
- a*b=(a+b)(1+a*b)/c²
die Frage ist: ist das betraglich kleiner als c!
es gibt jetzt 2 Möglichkeiten: 1. man kann das beweisen oder 2. widerlegen (GEGENBEISPIEL)
probiers mal aus und wenn du keins findest melde dich nochmal 
die 2. Aufgabe geht im Prinzip genauso, du sucht dir alle Körperaxiome, und überprüfst eins nach dem anderen
Additive Eigenschaften:
a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativität)
a + b = b + a (Kommutativität)
Es gibt ein Element 0 e K mit 0 + a = a (neutrales Element)
Zu jedem existiert das additive Inverse − a mit a + ( − a) = 0
(also fast wie Gruppe)
Multiplikative Eigenschaften:
a * (b * c) = (a * b) * c (Assoziativität)
a * b = b * a (Kommutativität)
Es gibt ein Element 1 e K mit 1*a=a (neutrales Element), und es ist 1 ungleich 0.
Zu jedem a e K existiert das multiplikative Inverse a-1 e K mit a-1*a=1
Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
(a+b)*c = a*c + b*c (Links-Distributivität)
das lässt sich bei Q(Wurzel2) gut durchrechnen…
Tranquilla
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]