Hallo!
gibt es einen Algorithmus zur Bestimmung eines (oder noch besser aller) gemeinsamer Teiler zweier komplexer Zahlen
Also z.B ich hab a+bi und c+di
a,b,c,d sind ganze Zahlen
i = SQR(-1)
und hätte gerne alle g+hi (g und h wieder ganzahlig) für die gilt
(a+bi)/(g+hi) und (c+di)/(g+hi)
haben ein ebenfalls „ganzzahliges“ Ergebnis
Dilda, irgendwie bin ich mir ziemlich sicher das Du dazu eine Idee hast!
LG
Michael
Hi,
warum rechnest du nicht mit den ehochx-Funktionen? Macht sich doch einfacher. Für was wirds gebraucht?
Frank
Hi Frank,
hab nur grade was über irreduzible Elemente bzw. Klassenzahlen gelesen und wollte selbst ein bisi in der Richtung „spielen“.
ehochx-Funktionen??? - Bitte um Erläuterung
Michael
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Oilersche Relation/Formel
Hallo, Michael und Battanten.Kom!
Da ich mich seit Jahren fast krankhaft für die eigentliche „Natur“ der komplexen Zahlen (als „Abwendung“ ohne glz „Zuwendung“ zu sein, also einfach ein „Zurseitedrehen“), bin ich auch von deiner Fragestellung faszinieret, finde dein posting aber grade eben erst, und kann spontan nur etwas zum hint auf die e^x - Umformung sagen.
Hat glaubich Oiler selbst gefunden, daß gilt:
cos[x] + i*sin[x] = e^[i\*x]
Paradefall: e^[i\*pi] = -1
Der Beweis hierfür wird meist über Reihenvergleich geführt, nämlich den (unendlichen) Reihen für sinus, cosinus, und Exponentialfunktion.
Z.B. ist ja e^x = 1 + x/1! + x^2/s! + x^3/3! +++++, und zwar fü alle reellen und komplexen x.
Ich habe einen elementar-analytischen Beweis auf der Grundlage von „Moivre“
(cos[x] + i*sin[x])+(cos[y] + i*sin[y]) = co[x+y] + i*sin[x+y]
Paradefall: (cos[x] + i*sin[x])^2 = cos[2x] + i*sin[2x],
was einfacher zu verstehen ist mit der e-Form:
e^[i\*x] * e^[i\*y] = e^i*[x+y], und von de l´Hôpital.
Paradefall: (e^[i\*x])^2 = e^[2ix]
Diese Umformung bringt aber zur Lösung deiner Frage nichts, da sie die „Ganzzahligkeit“ zunächst „sinusiert“, denn z.B.
sin[2] = 0,909…
Die Umformung aus „ganzen“ komplexen Zahlen verliefe so:
a + i*b = Wrz[a^2+b^2]*(a/Wrz + i*b/Wrz), denn die Summanden a/Wrz[a^2 + b^2] und die andere mit b müssen ja „pythagoräisch“ sein, denn cosinus und sinus, dann weiter mit:
cos[x] = a/Wrz und sin[x] = b/Wrz,
also x = arccos[a/Wrz] und y = arcsin[b/Wrz]
und also a + i*b = Wrz[a^2+b^2*e^(i*[arccos[a/Wrz]), wo du den ersten Faktor noch in eine zusätzliche rein-reelle e-Potenz umwandeln kannst, und so das ganze zu einer bloßen solchen, also von der Form e^c.
Dilda, irgendwie bin ich mir ziemlich sicher das Du dazu eine
Idee hast:
Deine wuten Günsche tehrten wohl manche, aber ehren mich, und ich werd mich gleich ranmachen!
Erste Idee: erstmal kuken, was zwei ausmultiplizierte Produkte mit je einem gemeinsamen Faktor (als quasi-GGT) gemeinsam haben.
Bis noilich, LandGericht, moin, manni
P.S.: Zu „meinem“ o.e. Beweis:
Die Polarkoordinatendarstellung komplexer zahlen wird dir wohl bekannt sein, wo der imaginäre Anteil gewisserweise die „Öffnung in die 2te Dimension“ der zahlenwelt darstellt. i „geht also querab“ von der „Richtung 1“, und 1 + i ist ein Scgritt nach links auf einen nach vorne, also ein etwas längerer Schritt diagonal. Wenn man nach dieser prinzipiellen Öffnung der 2ten Dimension der Zahlen diesen Schritt in unendlich viele unendlich kleine Teilschritte zerlegt, also lim{(cos[x/n] + i*sin[x/n])^n}, dann landet man über Moivre und Hôpital sehr schnell beim Ergebnis.
Hallo,
zuerst wollte ich mal vorausschicken, dass die Sache nach
gemeinsamen Teilen ja nur bei natürlichen (und wegen mir auch
bei gazen) Zahlen Sinn macht. Aber bitte…
gibt es einen Algorithmus zur Bestimmung eines (oder noch
besser aller) gemeinsamer Teiler zweier komplexer Zahlen
Also z.B ich hab a+bi und c+di
a,b,c,d sind ganze Zahlen
i = SQR(-1)
und hätte gerne alle g+hi (g und h wieder ganzahlig) für die
gilt
(a+bi)/(g+hi) und (c+di)/(g+hi)
haben ein ebenfalls „ganzzahliges“ Ergebnis
Also du hast eine Zahl a+bi=z1 vorgegeben und suchst eine
komplexe Zahl z2, sodass z1/z2 eine ganze Zahl ist. HAb ich
dich da richtig verstanden?
Zunächst einmal hast du in Potenzschreibweise:
z1=r1*exp(i*phi1)
z2=r2*ecp(i*phi2)
und z1/z1 = r1/r2 * exp (i*(phi-phi2))
und wenn letzteres eine ganze Zahl soll, hast du als Bedingung
phi1=phi2 und dass r1 ein Vielfaches von r2 sein soll (notfalls
r1=r2, womit z1/z2=1 )
Du siehst also, dass die ganze Sache am Ende ziemlich
langweilig ist und auch nicht wirklich Sinn macht…
Gruß
Oliver
Oliesche Irrelation?
Sei nicht böse, Oliver, ich schätze deinen Skeptizismus, aber als selbst zu überwindenden eigenen.
Klar macht das einen Sinn, denn du kannst ja eine komplexe Zahl mit 2 verschiedenen anderen kZ malnehmen und hast dann 2 verschieden kZ mit gemeinsamem Faktor.
Nur gibt es keinen „größten gemeinsamen Teiler (ggT)“, eben weil es im „Körper der komplexen Zahlen“ keine Ordnungsrelation gibt.
Denn zB bei 1 +2i und 2 + 1i, welche ist da „größer“???
Und Michael sucht ja auch nur eine gT, keinen ggT, und zwar nur „irgendeinen“!
Aber eine konstruktive Idee „habe ich schon“:
Ein gemeinsamer Teiler teilt ja auch jede Linearkombination.
Also auch diejenige LK, deren Realteil = 0, und diejenige, deren Imaginärteil = 0. Allerdings gilt dies dann nicht „umgekehrt“. Was die Linearkombination teilt, teilt nicht auch automatisch beide Zahlen einzeln.
Mussi ersma drüber knacken.
ciao, moin, manni.
Sei nicht böse, Oliver, ich schätze deinen Skeptizismus, aber
als selbst zu überwindenden eigenen.
Klar macht das einen Sinn, denn du kannst ja eine komplexe
Zahl mit 2 verschiedenen anderen kZ malnehmen und hast dann 2
verschieden kZ mit gemeinsamem Faktor.
Sei mir auch nicht böse, aber der QUOTIENT sollte nun mal eine GANZE Zahl sein und dadurch kommt man auf die in meinem ersten Posting angegebenen trivialen Bedingungen (Gleichheit der Phasenwinkel und der Quotient der Beträge muss ganzzahlig sein).
Aber was bringt’s?
Wenn du das als sinnvoll ansiehst bitteschön… ich halte es für ne Spielerei, aber jedem dass seine.
Nur gibt es keinen „größten gemeinsamen Teiler (ggT)“, eben
weil es im „Körper der komplexen Zahlen“ keine
Ordnungsrelation gibt.
Das ist sowieso klar.
Gruß
Oliver
ehochx
Hallo,
ehochx-Funktionen??? - Bitte um Erläuterung
„ehochx“ ist hebräisch und bedeutet so viel wie…
nee Quatsch, hab das auch 2 mal lesen müssen 
Gemeint ist, dass man jede komplexe Zahl z darstellen kann als
z=re^ix
r:Betrag
e:eulerische Zahl
x:stuck_out_tongue:hasenwinkel
Gruß
Oliver
intermediate: first progress
Hallo, Michael!
Nimm die beiden KZ 1 + 18i und 2 + 11i
(hab ich natürlich vorher "zu"gerechntet)
2*(1+18i) - (2+11i) = 25i und
11*(1+18i) - 18*(2+11i) = -25
Sei also s + i*t gemeinsamer Faktor von 1 + 18i und 2 + 11i.
und die beiden „Restfaktoren“ seien r und s;
Dann gilt also: 2*(s+it)*r - (s+it)*s = -25i und
11*(s+it)*r - 18*(s+it)*s =(s+it)*(11r - 18s) = 25
Das Produkt zweier KZ ist aber nur dann rein reell, wenn
die beiden bis auf einen konstantzen reellen Faktor komplex-konjugiert sind. D.H. das Produkt 25 ist ein „vielfaches“ des Betragsquadrates des gesuchten Vektors, also von s^2 + t^2.
Fragt sich an dieser Stelle nur erstmal, von welchen 2 Quadraten von ganzen Zahlen 25 die Summe ist!
Naaaa?? (Ätsch, bin schonmal nbeten Olier!)
Natürlich issnu noch offen, ob der GT 3 + 4i oder 4 + 3i ist.
Nu suchich weiter, wollt eiuch nur auffen noisten Stand bringen!
Das ganze hätte natürlich Konsequenzen für die eventuelle Zerlegbarkeit des „ganzen komplexen Zahlenrings“ in Primfaktoren!
ABChnungen
Oder auch „Ring in Noethen“
Hallo, liebe Mitfreaks!
Ich schrieb: „Das Produkt zweier KZ ist aber nur dann rein reell, wenn
die beiden bis auf einen konstanten reellen Faktor
komplex-konjugiert sind. D.H. das Produkt 25 ist ein
„vielfaches“ des Betragsquadrates des gesuchten Vektors, also von s^2 + t^2.“
Da wir ja nur einen beliebigen „ganzen“ Teiler suchen, wählen wir einen quadratischen, also 25 selbst. (denn die 1 wäre ja der triviale Fall).
Es ist aus denselben Gründen auch hilfreich, daß, wenn wir die omponenten „falsch herum“ wählen, sich dann der „richtige“ Teiler aus dem ja nur k-k 2ten Faktor ergibt.
Aber nu machi für hoide ersma Pause. Haare dampfen schon, und da tapert ja auch noch mein „Literatur-posting“ inner weltgeschichte rum!
ciao, czesc, moin, manni.
Wißt ihr, was ein „ZPE-Ring“ ist? (Zerlegung-in-Primelemente-Ring) Wired auch (wennimi recht erinnere) „Noetherscher Ring“ genannt, nacher Mathemännin Fr. Noether, hamburg.
Simmer da liveteichl nem Ring in Noeten auffer Spur?
Übnrigens, in meinem Inkurs zue Natur vonne KK, und der Oilerschen Formel, wolltick eingli schreiben "Wegwendung ohne Abwendung zu sein, also schnöde zur Seite wech). Denn deren Doppeltausführung isscha genau die Abbwendung (also mittem face zur annern Seite, zu „minus“.
Zur Herleitung auf meine weise muß man
Zn = (cos[x/n] + i*sin[x/n])^n erweitern zu
(cos[x/n]*(1 + tan[x/n]))^n, unnnnddd, pust…auuuusssss
Bei Fragen bitte fragen
Gegenbeispiel
Hallo
Ich schrieb: "Das Produkt zweier KZ ist aber nur dann rein
reell, wenn
die beiden bis auf einen konstanten reellen Faktor
komplex-konjugiert sind.
z1=exp(i*pi/3)
z2=exp(i*2/3*pi)
z1,z2 nicht komplex konjugiert
z1*z2=exp(i*pi*(1/3+2/3))=exp(i*pi)=-1
z1*z2 rein reell.
Im Geigentel!!!
Querrier Oilver!
z1=exp(i*pi/3)=cos[pi/3]+i*sin[pi/3] = 1/2+i/2*Wrz[3]
z2=exp(i*2/3*pi)
=cos[2*pi/3]+i*sin[2*pi/3] = -1/2+i/2*Wrz[3]
also gilt:
z1 = 1/2 + i/2*Wrz[3]
und
z2 = -1/2+i/2*Wrz[3] = -(1/2 - i/2 *Wrz[3]) = -z1,k.k.
du zitierstest mich doch oben richtig mit:
„wenn die beiden bis auf einen konstanten reellen Faktor komplex-konjugiert sind“.
Und der konstante reelle Faktor ist eben -1 !!!
Was miß)verstehst du denn eigentlich als „konjugiert-komplex“???
Außerdem gilt ja auch mit deiner „Diktion“
z1=exp(i*pi/3) = e^[1/3 * i*pi]
z2=exp(i*2/3*pi) = 1*e^[2/3 * i*pi] = e^[-2*i*pi]*e^[2/3 * i*pi]
= e^[-4/3 *i*pi] = e^[-i*pi] *e^[-1/3 *i*pi] =
= (1/-1)* -1*e^[-1/3 *i*pi] = -exp(-i*pi/3] !!!
ODER WAS??? Mussich doch auf meine alten Tage doch noch kacken!
Mods: Korinthen, meini!
Bei diese Geilen Egenheit aber erinnere ich mich meines postings vor ca 3Monaten, das ich nun durch die von Michael initiierte Frage nach der eindeutigen Primfaktorzerlegbarkeit des „Ringes der `ganzen´ komplexen zahlen“ ergänzen und anreichern möchte:
Artikelbaum aus dem Brett ‚Mathematik und Physik‘:
Ringe ohne eindeutige Primfaktorzerlegung (Manfred Jungjohann, 21.7.2002 19:49)
Ringerweiterungen (Gerald Schneider, 24.7.2002 21:45)
Re: Ringerweiterungen (Manfred Jungjohann, 25.7.2002 10:12)
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Titel: Ringe ohne eindeutige Primfaktorzerlegung
Brett: Mathematik und Physik
Autor/-in: Manfred Jungjohann ([email protected])
Datum: 21.7.2002 19:49 Uhr
Wäre schön, wenn da einer mehr Ahnung hätte als ich; es geht mir dabei va um den sog. „Fundamenmtalsatz der Algebra“, bzw um Erkenntnisse über die Natur der sog. „komplexen Zahlen“.
Meine Vorstellung von einem „noien Fundamentalsatz“ lautete etwa: „Jedes gradgradige polynom läßt sich in lauter quadratische (Prim)Polynome zerlegen.“ Wenn nun allerdings schon ein sog. „lieares Polynom“ auftrit, dann auch gleich zwei (gradgradig), und die sämtlich vorhandenen linearen Polynome lassen sich ja verschieden zu quadratischen (n!) kombinieren.
Simples Beispiel für nen Ring ohne eindeutige
Primfaktorzerlegung ist der der geraden Zahlen, bzw. alle Ideale in |N. 60 = 6*10 und = 2*30, und beide Lösg nicht weiter gradzahlig zerlegbar.
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Titel: Ringerweiterungen
Brett: Mathematik und Physik
Autor/-in: Gerald Schneider ([email protected])
Datum: 24.7.2002 21:45 Uhr
Die Eindeutigkeit der Zerlegbarkeit wird oft durch Erweiterungen von Ringen aufgehoben, so etwa dieses der ganzen Zahlen um einzelne Wurzeln wie sqrt(3) mit dann
(sqrt(3)+1)*(sqrt(3)-1) = 8 = 2^3
Gruß
Gerald
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Titel: Re: Ringerweiterungen
Brett: Mathematik und Physik
Autor/-in: Manfred Jungjohann ([email protected])
Datum: 25.7.2002 10:12 Uhr
Hallo Gerald!
Danke für deinen Hinweis. War mit tatsächlich noch nicht so geläufig. Da gibt die Adjunktion von i*SqRt[2] zb ja auch etwas mehr Licht auf die Natur von |C, was?
Meine Frage ist aber weniger die Konstruierbarkeit von Ringen ohne ZPE noch die Natur der komplexen „Zahlen“, sondern mehr die „Egalisierung“ der Ringe ohne ZPE als „Defekt“.
Auf Anfrage bei Prof. Zagier (Uni Bonn, Autor von
„Zetafunktionen und quadratische Körper“) wegen meines
Bestrebens der Umformulierung des Fundamentalsatzes der Algebra (mit dem Ziel der Noibewertung der komplexen „Zahlen“) in: „alle gradgradigen Polynome (über |R) lassen sich in rein quadratische Polynome zerlegen“ wandte er (zu recht) ein: „Aber dann ist ja die Zerlegung nicht mehr eindeutig“ (nämlich bei Vorhandensein von linearen Primfaktoren, also nicht nur in über |R irreduziblen quadratischen wie zb x^2+2x+5.
Klar läßt sich eine eindeutige ZPE nicht wiederherstellen, es geht mir darum, Erfahrungen im Umgang damit zu sammeln, um eventuelle noie Instrumente zu entwickeln.
Beipiel für die Komplexität des Problems ist die eindeutige Zerlegung von x^4 + 1 in
(x^2 - x*SqRt[2] + 1)*(x^2 + x*SqRt[2] + 1) und die Zerlegung von X^4 - 2x^2 + 1 in sowohl (x^2 - 1)*(x^2 - 1) = {(x+1)*(x-1)}^2 als auch in
(x^2 + 2x + 1)*(x^2 - 2x + 1) = (x+1)^2*(x-1)^2.
Mein Beispiel des Rings der geraden natürlichen Zahlen war auch nur ein Beispiel zur Veranschaulichung des Problems.
Es geht (mir) letzten Endes va um die Natur der komplexen „Zahlen“, an erster Stelle von „i“ selbst, dessen Bewertung als „Abwendung“ ohne glz „Zuwendung“ zu sein (also sone Art „Wechkuken zur Seite“, dessen Doppelausführung erst „nach hintan“ weist) zb schon die Herleitung der sog „Eulerschen Formel“ e^[i\*x] = cosx + i*sinx (die üblicherweise durch
Reihen-Koeffizientenvergleich bewiesen wird) mittels
infinitesimaler multiplikativer „Abwendung“ zu ner Art
„Oberschüleraufgabe“ macht.
„Zahlen“ ist der falsche Begriff für komplexe (genauso aber wie reelle) Ausdrücke, denn sie „zählen“ ja nicht, sie messen höchstens, bzw, man mißt mit ihnen. Natürlich ist dennoch der Begriff „Körper“ (für |R und |C) mAn korrekt, denn Körper befaßen sich ja nicht ausschließlich mit „Zahlen“.
Und ebenso natürlich sind komplexe Zerlegungen, v.a. wegen ihrer Rolle in der Zahlentheorie und Gammafunktion, notwendige und nützliche Hilfsgrößen.
Falls du dich ebenfalls mit Primzahlen beschäftichst, was sacht dir die Tatsache, daß das harmonische Mittel aller (natürlichen) Zahlen bis n sich mit wachsendem n der Anzahl der Primzahlen bis n nähert? Denn pi(n) = n/ln(n) = n/Summe(1/m), m von 1 bis n, = harm. Mittel.
Ich kämpfe allerdings auch mit einem Ruf, „rechthaberischer Korinthenkacker“ zu sein.
(siehe dazu auch meine Beiträge im Forum zur
„Relativitätstheorie“.)
Viele herzliche Grüße,
Manni.
Bisscha aber ein ganz (unfreiwillich) kreaktiver Mensch, Oliver!!!
Sorry, mußte dies posting grad eben zweimal korrigiert nachposten. Um diese zeit bin ich ja nicht immer überkonzentriert, leider.
mein Widerruf
z1=exp(i*pi/3) = e^[1/3 * i*pi]
z2=exp(i*2/3*pi) = 1*e^[2/3 * i*pi] = e^[-2*i*pi]*e^[2/3 *
i*pi]
= e^[-4/3 *i*pi] = e^[-i*pi] *e^[-1/3 *i*pi] =
= (1/-1)* -1*e^[-1/3 *i*pi] = -exp(-i*pi/3]
stimmt - da war ich gestern wohl zu voreilig!
nfu
Oliver
you´re welcome!
my friend!
Weißt du eigentlich, daß „im unendlichen Addition und Multiplikation identisch sind“?
Na, wie man "wissenschaftlich 1 + 2 zusammenzählt:
als Limes, nämlich lim{n*(1 + 1/n)*(1 + 2/n) - n}, für n gegunendlich.
Wird aber erst spannend, wenn man die Gammafunktion kennt und sie auf die Riemann´sche Zetafuntion anwendet.
Grüezi, moin, manni
Danke für Informationen
Vielen Dank Euch allen für die Informations(un)mengen
zu meiner Anfrage!
Hab leider im Moment nicht die Zeit aktiv in die Diskussion einzugreifen - ja ja ich weiß das sollte man sich überlegen
bevor man Fragen stellt…
LG
Michael
na ja neutrales Element hinsichtlich der Multiplikation (und natürlich Division) komplexer Zahlen ist eigentlich nur
1+0i
und entspricht somit der 1 bei den „normalen“ Zahlen
und obendrein gibts ja auch bei den komplexen Zahlen sowas wie Primzahlen also nicht (zumindest nicht „ganzzahlig“) teilbare
Zahlen
wobei bei gewissen „mehrfachem“ i also z.B a+b(SQR(-14) die „Primfaktorzerlegung“ nicht mehr eindeutig ist
*grübel*
‚ganz-komplexes‘ Ringen
Lieber Michael, ich deute deinen Beitrag so (?), daß du auf „irreduzible“ von mir „ganze komplexe“ genannte Zahlen anspielst, insofern sie nur durch sich selbst und eben das neutrale Element 1 + 0*i („ganz“)teilbar sind.
Es gibt ja auch entsprechende Zahlen, die nur durch die „imaginäre 1“ = i „ganz“ teilbar sind. Auffalend ist auch, daß 2 = (1+i)*(1-i), also 1+i und 1-i „ganze Teiler“ von 2 sind.
Es ist für mich noch fraglich, ob und in welchem Sinne es „sowas wie komplexe Primzahlen“ gibt.
Es wäre schön, wenn du praktische Zahlenbeispiele bringen könntest, z.B. auch für deine Behauptung:
„wobei bei gewissen „mehrfachem“ i also z.B a+b(SQR(-14) die „Primfaktorzerlegung“ nicht mehr eindeutig ist
*grübel*“
Ich jedenfall studiere jetzt das ganze Phänomen „Ring der `ganzen komplexen Zahlen“. Ich bin noigierig und ja bekanntlichermaßen mathematisch und auch - amtisch nicht gerade unbedarft. Vielleicht kannst du auch Literatur empfehlen? Aber bitte nur speziel zu diesem Phänomen!
moin, manni
Hallo Michael,
ich weiß nicht sicher, ob ich Deine Problemstellung richtig verstanden habe. Muss die Division von
(a+bi)/(g+hi) und (c+di)/(g+hi)
wirklich „ganzzahlig“ sein oder eine ganzzahlige komplexe Zahl?
Man könnte z.B. nehmen:
(548+486i) = (1+2i)(3-4i)(7-3i)(5+7i)
und
(-61+23i) = (1+2i)(3-4i)(-5+3i)
Beide haben den gemeinsamen ganzzahligen Teiler
(11+2i) = (1+2i)(3-4i)
Das wäre dann m.E. eine sinnvolle Lösung dieses speziellen Problems im Sinne eines gemeinsamen Teilers. Ob er auch der größte ist, hängt davon ab, ob er auch der einzige ist. Das weiß ich nicht und habe ich auch im strengen Sinne nicht bewiesen, zumindest noch nicht. Immerhin kann man bei ganzzahligen Zahlen darauf verweisen, dass deren Betrag 1, sqrt(2), 2, sqrt(5) u.s.w. sein muss, so dass daraus eine wesentliche Beschränkung für die mögliche Zahl gemeinsamer Teiler folgt. Deswegen bin ich auch so gut wie sicher, dass obige Lösung die einzige Lösung darstellt.
Komplexe ganzzahlige Zahlen, die keine ganzzahlige Produktzerlegung wie oben ermöglichen, könnte man als prim bezeichnen. Diese Art der Primzahlzerlegung bildet dann die Basis der Findung des ggT. Eine allgemeine Lösung für dieses Problem kenne ich aber (auch) nicht. Hier sind Zahlentheoretiker gefragt.
Hilfreich?
Ulrich
P.S.: Für alle, die sich an diesem Board hier beteiligen. Wäre es möglich, dass Ihr Euch bei der Rechtschreibung etwas mehr Mühe geben würdet. Es wäre schön, wenn Ihr nicht PISA, sondern z.B. obige (implizite) Behauptung beweisen könntet.
P.P.S.: Ich weiß, dass man nach der neuen Rechtschreibung die persönliche Anrede Du, Dir, Dich etc. klein schreibt. Ich mache das anders, weil die Großschreibung den gleichen Respekt ausdrückt wie beim immer noch richtigen Sie.