GW von folgen durch abschätzen. kapiere NIX! HILFE

Anonym · 6. März 2001 um 19:59

den satz
An heißt konvergent wenn gilt
ex. A el. R, e>0 mit N el.|N für alle n>N mit |An-A|=geht gg; e=epsilon;N0 ersten glied der folge in der e-umgebung; sqrt=wurzel; ]

!!! x heißt: hier komm ich nicht mit, erl. unten!!!

"
beispiel 4:
1/n^(1/p)–>0 sei e>0 und fest vorgegeben. da 1/n–>0 gibt es zu der pos. zahl e^p ein N0, so daß für n>N0 stets 1/n1; sei e>0 und fest vorgegeben; setzen An:=(n^(1/n)) -1 1 und müssen nun zeigen, daß ein N0 existiert, mit dem |An|=AnN0. aus dem binomischen satz folgt
2 n=(1+An)^n=1+(n über 1)*An+(n über 2)An^2+…+(n über n)An^n
>=1+(n über 2)An^2.
für n>=2 erhalten wir daraus
An^2=2, so daß 1/sqrt(n)N0 ist.
Für diese n gilt dann
An

H_gar42 · 7. März 2001 um 08:14

Hi Priscal,
also mit dem Abschätzen ist das so eine Sache, es geht hierbei
nicht unbedingt um Genauigkeit. Man versucht hier nur abzugrenzen ob es sich um eine konvergente Folge handelt.
Wie es Mathematiker oft tun, versucht man erstmal ein Problem auf ein bekanntes Problem zurückzuführen und damit das Problem zu
erschlagen.
Bei der Konvergenz können folgende Wege eingeschlagen werden :
a.) man zeigt das eine Folge nach oben hin durch eine andere Folge abschätzbar ist, d.h. man zeigt das jeder Teil der Folge
nach oben hin durch einen anderen Ausdruck ersetzt werden kann.
Diese Folge sollte als konvergent bekannt sein. Eine endliche Menge von z.B. Summanden muss nicht unbedingt ersetzt werden, falls diese nach oben hin abgeschätzt oder sogar berechnet werden kann. D.h. man kann z.B. mit Ai anfangen.
b.) man zeigt das eine Folge nach unten hin abschätzbar ist, und zwar durch eine abgeschätzte (bekannte) Folge die nicht konvergent ist, daraus folgt dann, dass die eigene Folge auch nicht konvergent ist.

Bei dem ganzen spielt es keine Rolle ob die Abschätzung gut oder schlecht ist, d.h. eine Folge mit dem Grenzwert 5 kann durchaus
durch eine Folge mit dem Grenzwert 10000 abgeschätzt werden, da
es nur auf die Konvergenz ankommt.

Hoffe das hilft dir ein bischen.
auf die Aufgabe wollte ich nicht direkt eingehen, da es zum Verständnis des Problems nicht viel beiträgt.

Gruss Peter

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Lutz_Lehmann · 7. März 2001 um 10:20

beispiel 5:
n^(1/n)–>1; sei e>0 und fest vorgegeben; setzen
An:=(n^(1/n)) -1 1 und müssen nun zeigen, daß ein N0

Bis hierher ist in diesem Beispiel noch gar nicht gesagt, was An ist. Also wird auch nix umdefiniert. Und wenn Du die Definition anschaust, ist es egal, ob man zeigt, daß eine Folge eine Zahl als Grenzwert hat oder ob Folge minus Yahl gegen Null geht.

existiert, mit dem |An|=AnN0. aus dem:binomischen satz folgt
2 n=(1+An)^n=1+(n über 1)*An+(n über 2)An^2+…+(n über:n)An^n

Mit dem so definierten An darf natürlich alles gerechnet werden, was man will. Binomischer Satz ist klar?

>=1+(n über 2)An^2.
für n>=2 erhalten wir daraus
An^2=2, so daß 1/sqrt(n)N0 ist.
Für diese n gilt dann:An

Anonym · 7. März 2001 um 13:52

Bei der Konvergenz können folgende Wege eingeschlagen werden :
a.) man zeigt, daß eine Folge nach oben hin durch eine andere Folge abschätzbar ist, d.h. man zeigt das jeder Teil der Folge
nach oben hin durch einen anderen Ausdruck ersetzt werden kann.
Diese Folge sollte als konvergent bekannt sein. Eine endliche Menge von z.B. Summanden muss nicht unbedingt ersetzt
werden, falls diese nach oben hin abgeschätzt oder sogar berechnet werden kann. D.h. man kann z.B. mit Ai anfangen.
Nur nach oben reicht aber nicht, um die Konvergenz zu bekommen. Man muß eine folge schon „von beiden Seiten“ abschätzen: So gilt offensichtlich
(-n) n) schon durch zwei andere Folgen (b_n) und (c_n) abschätzen, so daß f.a. n e N gilt:
c_nn n
sowie (c_n) -> A und (b_n) -> A mit A aus R
Dann hast du nämlich nicht nur gezeigt, daß (a_n) konvergiert, sondern sogar, daß (a_n) gegen A konvergiert!
Bekannt ist dies u.a. als Quetschungssatz.

b.) man zeigt das eine Folge nach unten hin abschätzbar ist, und zwar durch eine abgeschätzte (bekannte) Folge die nicht
konvergent ist, daraus folgt dann, dass die eigene Folge auch nicht konvergent ist.
dies kappt nur bei der in diesem Beispiel vorgegebenen Folge. Denn wiederum ist (-n) sicherlich stets kleiner als (1/n), welche ja aber konvergent ist!

Selbstverständlich aber darf man zum Abschätzen des GW mittels des Quetschungssatzes auch triviale Folgen verwenden, beliebt ist natürlich Folge, die nur die 0 enthält, denn diese konvergiert offensichtlich gegen 0. Und genau das wird auch in dem Beispiel gemacht:
Wie Lutz schon erwähnte, ist es äquivalent, zu zeigen, daß
(a_n) gegen A konvergiert oder
(a_n)-A konvergiert gegen 0.

Im Beispiel ist (A_n) > 0, dann braucht man nur noch die zweite Folge, um (A_n) nach oben hin abzuschätzen. Diese konvergiert auch gegen 0, also hat man die zwei Folgen, die man braucht, um den Quetschungssatz benutzen zu können. Somit kommt heraus, daß (A_n) gegen 0 konvergiert, umkehrschlußendlich also, daß n^1/n gegen 1 konvergiert.

Bei dem ganzen spielt es keine Rolle ob die Abschätzung gut oder schlecht ist, d.h. eine Folge mit dem Grenzwert 5 kann
durchaus durch eine Folge mit dem Grenzwert 10000 abgeschätzt werden, da es nur auf die Konvergenz ankommt.
Nun, zwar gilt
(5+1/n) -> 5
(-5+1/n) -> -5 und
(5+1/n) > ((-1)ⁿ) > (-5+1/n)
aber deswegen ist sie noch lange nicht konvergent!

Gruß
Tyll

Anonym · 8. März 2001 um 13:37

danke für eure hilfe, bin auch vom schlauch runter
danke :o)