Hängt die Resonanzfrequenz von der Dämpfung ab?

Wissenschaft Physik
1

Hallo,

wenn man einen Schwingquarz in Vakuum zum Schwingen anregt, ist seine Resonanzfrequenz 32768 Hz. Wenn ich den gleichen Schwingquarz an Luft bringe, geht nicht nur die Schwingfrequenz und die Güte runter, sondern auch die Frequenz sinkt um ungefähr 8 Hz.

Ist dieses Phänomen durch die Meßelektronik bedingt, oder hängt die Resonanzfrequenz tatsächlich von der Dämpfung (hier Viskosität der Luft) ab?

Ich habe versucht, die allgemeine Schwingungsgleichung zu benutzen, um mehr über die Abhängigkeit Frequenz-Dämpfung herauszufinden. Leider habe ich es nicht geschafft. Meine Frage also: Wie lautet die Formel (und am besten noch: Wie wird sie hergeleitet), mit der die Frequenz von der Dämpfung abhängt?

Viele Grüße!

Bernhard

P.S:Im folgenden stelle ich meinen Lösungsansatz vor, der mich leider nicht weit gebracht hat:

Die Schwingungsgleichung lautet
Trägheitskraft + Reibungskraft + Rückstellkraft = äußere Kraft

m * x’’ + m * gamma * x’ + k * x = F

wobei x jeweils x_0*exp(i omega t) und F = F_0*exp(i omega t)
m = Masse,
x = Schwingungsamplitude,
gamma = Dämpfung
k = Federkonstante
F = Kraft
i = imaginärer Faktor

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet

x = F/m * 1/ ( omegares^2 - omega^2 + i gamma omega)

Dabei ist omegares die Kreisfrequenz bei Resonanz und kann als Konstante betrachtet werden. Was jetzt interessiert ist omega. Die Gleichung soll nach Omega aufgelöst werden.

Bei Resonanz gilt:

x = F/(i*m*omegares*gamma)

Das setze ich ein. (Vielleicht liegt hier der Fehler?)
Schließlich erhalte ich

omega = \sqrt{ omegares^2 - i * omegares *gamma - 1/4 * gamma^2 } + i * 1/2 * gamma

Toll! Omega hängt nur noch von der konstanten omegares und von der Dämpfung gamma ab! Aber falsch gedacht: Wenn ich den Betrag bilde, das habe ich numerisch gemacht, und die Frequenz omega in Funktion der Dämpfung plotte, dann bleibt omega konstant!

2

Hallo Bernhard,

…ja, auf jeden Fall! Das wird m.W. sogar in der Technik ausgenutzt, durch Einschub von Extra-Dämpfung die Resonanzspitze zu verschieben, wenn die Frequenz der treibenden Kraft sich aus irgendwelchen Gründen nicht verändern läßt.

Ich habe versucht, die allgemeine Schwingungsgleichung zu
benutzen, um mehr über die Abhängigkeit Frequenz-Dämpfung
herauszufinden.

Hervorragend! Kann ich nur unterstützen!

Leider habe ich es nicht geschafft.

aber fast! :smile:

Ich habe nur darüber geguckt (habe es selbst vor Urzeiten mal gerechnet), ich glaube, ich sehe, wo es hakt…

x = F/m * 1/ ( omegares^2 - omega^2 + i gamma omega)

Dabei ist omegares die Kreisfrequenz bei Resonanz und kann als
Konstante betrachtet werden. Was jetzt interessiert ist omega.

Was ist nun omegares, ausgedrückt durch die diversen Variablen
gamma, m, etc. ?

Du mußt schon den expliziten Ausdruck aus der DGL herleiten! (hier liegt nämlich der Hase!)

und nicht:

Die Gleichung soll nach Omega aufgelöst werden.

Wieso?
Du zeigst allenfalls noch, daß die Amplitude von x
maximal wird bei omega = omegares
(also Ableitung nach omega!)

(obwohl: so wie das oben steht, glaube ich das nicht einmal,
daß der Ausdruck bei omegares maximal wird,…aber probier’ selbst mal :smile: )

Wenn Du den konkreten Ausdruck für omegares hast, kannst Du die oben gestellte Frage beantworten.

Gruß
Stefan

3

Herleitung
Hallo,

Hier die Herleitung der dämpfungsabhängigen Resonanzfrequenz:

Schwingungsgleichung:


> 

x'' + 2γx' + ω<sub>0</sub>²x = Ke<sup>iωt</sup>


> 

ω: Frequenz der Anregung
K: Amplitude der Anregung
ω<sub>0</sub>: Eigenfrequenz des Systems
γ: Dämpfung


> 

Ansatz:


> 

x = Ae<sup>iωt</sup>


> 

Einsetzen in die Schwingungsgleichung mit
anschließender Division durch e<sup>iωt</sup> liefert:


> 

-ω²A + 2iγωA + ω<sub>0</sub>²A = K


> 




> 

 K
A = ---------------
 ω<sub>0</sub>²-ω² + 2iγω


> 

 K
 = -------------------- e<sup>iφ</sup>
 √((ω<sub>0</sub>²-ω²)² + (2γω)²)


> 

Der Betrag der Amplitude wird maximal, wenn der
Nenner minimal wird. Das ist der Fall bei der
Resonazfrequenz:


> 

**ω<sub>r</sub> = √(ω<sub>0</sub>²-2γ²)**


>

Gruß
Oliver

4

anderer Effekt
Hallo Bernhard,

wenn man einen Schwingquarz in Vakuum zum Schwingen anregt,
ist seine Resonanzfrequenz 32768 Hz. Wenn ich den gleichen
Schwingquarz an Luft bringe, geht nicht nur die
Schwingfrequenz und die Güte runter, sondern auch die Frequenz
sinkt um ungefähr 8 Hz.

hmmm… es geht also nicht nur die Schwingfrequenz runter sondern die Frequenz sinkt um 8 Hz …??? Wie darf man das jetzt verstehen ?

Ist dieses Phänomen durch die Meßelektronik bedingt, oder
hängt die Resonanzfrequenz tatsächlich von der Dämpfung (hier
Viskosität der Luft) ab?

Wie hast Du denn gemessen ? Üblicherweise läßt man den Quarz in einer Oszillatorschaltung auf seiner Resonanzfrequenz schwingen. Die Oszillatorschaltung macht aber nichts anderes als die Dämpfung gerade etwas überzukompensieren, sodass sie wegfällt und auch keinen Einfluss mehr auf die Resonanzfrequenz haben kann.

Ich habe versucht, die allgemeine Schwingungsgleichung zu
benutzen, um mehr über die Abhängigkeit Frequenz-Dämpfung
herauszufinden. Leider habe ich es nicht geschafft. Meine
Frage also: Wie lautet die Formel (und am besten noch: Wie
wird sie hergeleitet), mit der die Frequenz von der Dämpfung
abhängt?

Ich denke, mit Rechnen kommst Du da nicht weiter. Du mußt bedenken, dass 32-kHz-Quarze als Biegeschwinger aufgebaut sind und von daher viel Luft mitbewegen müssen. Da die Masse des Kristalles sehr klein ist, kann bereits die Masse der mitbewegten Luft eine Verringerung der Resonanzfrequenz bewirken.

Jörg

5

Hallo Berhard,

wie es funktioniert, wurde Dir schon geschrieben, ich möchte Dir nur noch der Vollständigkeit halber schreiben, daß dieser Effekt ausgenutzt wird, um die Dichte von Medien (speziell Flüssigkeiten) zu ermitteln. Das geht schnell und präzise.

Gandalf

6

kommt drauf an …
Hallo,

… was mit „Resonanzfrequenz“ gemeint ist. In der Mechanik wird oft auch omega0 als „Resonanzfrequenz“ bezeichnet. Die ist natürlich unabhängig von der Dämpfung.

wenn man einen Schwingquarz in Vakuum zum Schwingen anregt,
ist seine Resonanzfrequenz 32768 Hz. Wenn ich den gleichen
Schwingquarz an Luft bringe, geht nicht nur die
Schwingfrequenz und die Güte runter, sondern auch die Frequenz
sinkt um ungefähr 8 Hz.

Neugierde: Was machst Du denn mit den Stimmgabeln im Vakuum und an Luft? Etwa so etwas: http://meso.phys.nwu.edu/research/afm.html?
Aber das hat ja nichts mit Telekommunikation zu tun …

Ist dieses Phänomen durch die Meßelektronik bedingt, oder
hängt die Resonanzfrequenz tatsächlich von der Dämpfung (hier
Viskosität der Luft) ab?

Nicht nur. Es kommt auch darauf an, was Du mit dem Ding sonst noch anstellst (Randbedingungen).

Ciao R.