Grundsätzlich setzt die Pflicht, Schadensersatz zu leisten, eigenes Handeln und eigenes Verschulden voraus. Das heißt aber nicht, dass das Handeln Dritter keine Rolle spielt. Bei der von dir angeführten Aufsichtspflicht der Eltern kommt es zwar letztlich auf eine eigene Aufsichtspflichtverletzung an und damit auf eigenes Verschulden der Eltern. Das schadensverursachende Verhalten des Kindes ist aber ja trotzdem Voraussetzung für die Haftung. Die Verletzung der Aufsichtspflicht allein begründet noch keinen Schadensersatzanspruch. Die Aussage
„Kein Mensch haftet jemals für Handlungen oder Unterlassungen eines anderen.“
ist schon deshalb so nicht richtig. Der Satz
„Jeder haftet immer nur für das, was er selber zu verantworten hat.“
ist hingegen zwar richtig, sagt aber letztlich nicht das aus, was du damit meinst. Es kann nämlich sein, dass man auch das Verhalten oder sogar das Verschulden eines Dritten zu „verantworten“ hat. Ein berühmtes Beispiel ist der sog. Erfüllungsgehilfen. Erfüllungsgehilfe ist, wer mit dem Willen des Schuldners bei der Erfüllung einer diesem obliegenden Verbindlichkeit als seine Hilfsperson tätig wird (BGHZ 13, 111). Der Schuldner muss sich das Verschulden seines Erfüllungsgehilfen zurechnen lassen (§ 278 BGB). Denn wer sich im Rahmen eines Schuldverhältnisses die Vorteile der Arbeitsteilung zunutze macht, soll für das Fehlverhalten seiner Hilfskräfte einstehen (BGHZ 95, 128). Hierunter fällt auch dein Arzt-Beispiel. Wenn der Arzt die Medikamente immer selbst verabreichen würde, könnte ihm auch einmal ein Fehler unterlaufen. Diese Gefahr soll er nicht vollständig auf eine von ihm beauftragte dritte Person abschieben können. Er darf sich der Hilfe seiner Angestellten bedienen, aber er muss dann für ihr Verschulden auch selbst einstehen und zwar, wichtig, ohne Möglichkeit, sich durch den Nachweis zu entlasten, dass er selbst aber keine Schuld trägt.
Auch das Verhalten eines gesetzlichen Vertreters muss man sich im Rahmen von Schuldverhältnissen zurechnen lassen (ebenfalls § 278 BGB). Um ein letztes Beispiel zu nennen: Ein Verein haftet für den Schaden, den etwa der Vorstand angerichtet hat (§ 31 BGB). Interessanterweise formuliert das Gesetz an dieser Stelle gerade so, wie ich oben schon angedeutet habe. Es sagt nämlich nicht, der Verein müsse „haften“, sondern es sagt, der Verein sei dafür „verantwortlich“. Das meint dasselbe.
Da es dir explizit nicht nur um Schadensersatz, sondern auch um „andere Fragen der Haftung“ geht, muss man noch erwähnen, dass hier ganz verschiedene Konstellationen denkbar sind, in denen man für das Verhalten eines anderen irgendwie einstehen muss. Dazu gehört z.B. die Vertretung. Wenn ich dir eine Vollmacht ausstelle und du im Rahmen deiner Vertretungsmacht für mich mit einem Dritten einen Vertrag abschließt, dann werde ich aus diesem Vertrag berechtigt und verpflichtet. Letzteres bedeutet letztlich ja, dass ich „hafte“.