hi,
Bei einer Halbierung der relativen Wachstumsrate verdoppelt
sich die Verdopplungszeit.
Das lässt sich einsetzen und umformen:
Also 2T_D=Log2/log(1+p/2)
ich tu mir mit deinen abkürzungen ein bisschen schwer.
ich denk, du hast richtig ausgerechnet: für gegebenes p ist die verdoppelungszeit T_Dp = ln 2 / ln(1+p)
etwas irritierend, verschiedene logarithmenfunktionen zu verwenden. ist auch nicht nötig.
T_D(p/2) = ln 2 / ln(1+p/2)
dann kommt am Ende heraus
2*log(0,5)+2*log(2+p)=log(1+p)
das kann ich nicht nachvollziehen. du hast hier auch log(0,5) drin, der eine negative zahl ist (für logarithmenbasen über 1).
Soweit so gut, damit wurde gezeigt, dass die Aussage nicht
stimmt, da ja schon log(2+p) größer ist als log(1+p)
nicht nachvollziehbar. (s.o.)
das verhältnis der verdoppelungszeiten ist
T_Dp / T_D(p/2) = ln 2 / ln(1+p) * ln(1+p/2) / ln 2 =
= ln(1+p/2) / ln(1+p) = ln(1/2 * (2+p)) / ln(1+p) =
= (ln(0,5) + ln(2+p)) / ln(1+p) =
= (ln(2+p) - ln 2) / ln(1+p)
das ist jedenfalls nicht 2.
wenn das 2 wäre, müsste
2 * ln(1+p) = ln(1+p/2)
sein.
2 * ln(1+p) = ln(1+p)² = ln(1+2p+p²)
also
ln(1+2p+p²) = ln(1+p/2)
oder
2p+p² = p/2
bzw. p = 0 oder p=-3/2. das kann nicht sein.
Nun wird behauptet, dass es jedoch für kleine p annähernd
stimmt. Ich habe das mal für ein paar p ausgerechnet und es
stimmt, je näher p an Null rückt, desto geringer ist der
Unterschied.
Nun soll man das zeigen mit Hilfe von ln(1+p)=1-P²/2+p^3/3
usw.
stimmt nicht ganz:
ln(1+p) = p - p²/2+ p^3/3 -+…
Es gilt ja für T_D=ln2/ln(1+p)
Nun komme ich jedoch an dieser Stelle nicht weiter, ich kann
das ja einsetzen die Reihe für ln aber dann?
für kleine p ist also ln(1+p) ~ p; denn p^2 und p^3 usw. werden ja noch viel kleiner.
die verdoppelungszeit T_Dp = ln 2 / ln(1+p) ~ ln 2 / p. das ist indirekt proportional zu p.
hth
m.