puh, … rätsel sinds ja nicht gerade …
1.) Zwei Treibräder mit den Radien R = 25,8 cm und r = 18,1
cm sollen durch einen straff gespannten Treibriemen verbunden
werden. Der Abstand ihrer Mittelpunkte soll d = 84,692 cm
betragen.
S = Wie lang muss der Treibriemen sein (cm)?
Tipp: Da es sich um eine sehr komplexe Konstruktion handelt,
ist eine genaue Berechnung von großer Wichtigkeit.
Auf der Skizze ist noch angegeben der Winkel von 90° zwischen
den Rädern und Riemen.
naja: die konstruktion ist nicht wirklich komplex. aber die berechnung ist schon ein bisschen aufwändig.
nennen wir den radius des großen treibrads R und den des kleinen r. dazu d als den abstand der mittelpunkte der beiden räder.
ich nenne dann x die länge des triebriemens zwischen den 2 berührpunkten mit den beiden triebrädern. x, d, R und r bilden dann ein trapez.
dieses trapez verlängert man zu einem dreieck, indem man die linien d und x verlängert. man bekommt dann ein rechtwikliges dreieck. die hypotenuse (die verlängerung von d) nenne ich D. das kleine verlängerungsstückchen zur länge x nenne ich y.
du hast dann 2 ähnliche rechtwinklige dreiecke, nämlich das große aus D, R und x+y und das kleine aus D-d, r und y.
aus der ähnlichkeit der dreiecke kannst du D berechnen:
D : R = (D-d) : r
oder
D = Rd / (R-r)
für das kleine rechtwinklige dreieck gilt:
r² + y² = (D-d)²
da lässt sich y berechnen:
y = Wurzel((D-d)² - r²)
für das große rechtwinklige dreieck gilt:
R² + (x+y)² = D²
da kann man x berechnen.
x+y = Wurzel(D² - R²)
x = Wurzel(D² - R²) - Wurzel((D-d)² - r²)
jetzt brauchst du noch den winkel, den die beiden radien R und r mit der verbindung der radmittelpunkte einschließen.
da gilt:
R : D = cos(alpha)
oder
alpha = arccos(R/D)
um die gesamte länge des riemens zu berechnen, benötigst du jetzt die beiden teilumfänge über die beiden räder und die beiden stücke x.
am großen rad liegt eine länge von
U = 2R Pi * (360 - 2*alpha)/360
auf dem rad auf.
am kleinen rad liegt eine länge von
u = 2r Pi * (2 * alpha) /360
auf dem rad auf.
(alpha jeweils in grad gemessen.)
und die gesamtlänge des riemens S ist dann
S = U + u + 2x
(ich hoffe, ich hab nix übersehen. bitte um kontrolle!)
2.)Vierzehn gleich große Kugeln mit dem Radius r = 153 cm
werden aufeinander geschichtet, so dass sich benachbarte
Kugeln berühren.
A = Wie hoch ist der Stapel in cm (Nachkommastellen
streichen)?
Die Kugeln sind wie folgt gestapelt, unten 9 (3x3), mitte 4
(2x2), oben 1.
Die Ergebniise helfen mir beim Geocaching weiter. Ich hoffe
ihr könnt damit mehr anfangen als ich…
bitte was ist „geocoaching“?
reduzieren wir das problem einmal auf 5 kugeln: 4 unten, 1 drüber in der mitte.
dann bilden die 5 kugelmittelpunkte eine quadratische pyramide, die aus 4 gleichseitigen dreiecken der seitenlänge 2r besteht. (da die obere kugel jeweils jede untere berührt und die unteren einander ebenfalls.)
die höhe H so einer pyramide lässt sich berechnen. (du kannst die dreieckshöhen hD berechnen: hD = r * Wurzel(3) und dann aus der dreieckshöhe als hypotenuse und der halben seitenlänge r mit dem pythagoras die höhe H der pyramide: H = Wurzel(2) * r)
eine pyramide aus 5 kugeln ist also 2r + H hoch (denn die mittelpunkte der unteren kugeln liegen schon auf höhe r und über dem mittelpunkt der oberen kugel gehts noch einmal r weiter.)
wenn du das fortsetzt für die 14 kugeln, heißt das: noch eine solche schichtung. du hast dann also eine gesamthöhe des kugelhaufens von
r + H + H + r = 2r + 2H
ein kugelhaufen aus n schichten hat die höhe 2r + (n-1) * H.
auch da hoffe ich, nix übersehen zu haben.
hth
m.
