Hallo Matheasse,
warum ist denn die harmonische Reihe
Summe von 1/j mit j->unendlich:
1+1/2+1/3+1/4… divergent
und die Reihe
Summe von 1/j^j mit j->unendlich:
1+1/4+1/27… konvergent (=2)
Die beiden Reihen nähern sich doch beide 2 (oder habe ich irgendwo einen Denkfehler drin ?)
Danke,
Alex
Hallo Alex,
die harmonische Reihe Summe(1/j) geht nicht gegen 2, sondern wächst über alle Grenzen - allerdings recht langsam.
Beweis:
Summe(1/j)
= 1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + …
> 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + …
= 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + …
Es wird also unendlich oft 1/2 aufsummiert und das kann nicht endlich sein.
Daher muß die noch größere Summe(1/j) ebenfalls divergieren.
Hallo Matheasse,
warum ist denn die harmonische Reihe
Summe von 1/j mit j->unendlich:1+1/2+1/3+1/4… divergent
und die Reihe
Summe von 1/j^j mit j->unendlich:1+1/4+1/27… konvergent (=2)
Die beiden Reihen nähern sich doch beide 2 (oder habe ich
irgendwo einen Denkfehler drin ?)
Beide Reihen können nicht den gleichen Wert haben, da stets
1/j > (1/j)^j
gilt.
Danke,
Alex
Frank.
Hallo,
vielen Dank für Eure Hilfe.
Ich hatte wohl doch einfach nur einen Denkfehler in meinen Überlegungen (bzw. einen Fehler in meinen Aufzeichnungen, dem ich blindlings vertraut habe). Auf jeden Fall habe ich das mit der harmonischen Reihe inzwischen verstanden.
Danke nochmal an alle,
Gruß,
Alex