Harmonische zahl- beweis

Wissenschaft Physik
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Hi!

Brächte Hilfe beim Beweis einer Reihe…

ALso sei jetzt H_k=1+1/2+…+1/k die k-te harmonische Zahl(für k=1,2…).

Gezeigt werden soll:

Summe k=1 bis n H_k=(n+1)H_(n+1) -(n+1)

In entsprechender Literatur hab ich nicht unbedingt Hilfen gefunden.
Danke, Gruß

2

Hi,

Gezeigt werden soll:

Summe k=1 bis n H_k=(n+1)H_(n+1) -(n+1)

Dem geht so:

 n n k n
 ∑ H\_k = ∑ ∑ 1/i = ∑ (n+1-i)/i = (n+1)H\_n - n =(n+1)H\_(n+1) - (n+1)

k=1 k=1 i=1 i=1

Wobei der letzte Schritt in meinen Augen wirklich unnötig ist, aber wenn es unbedingt die gewünschte Form haben soll… meinetwegen.
Ich hoffe die Schritte sind alle klar, wenn nicht, einfach noch mal melden!

Gruß
Oliver

3

hast du das jetzt mit volls. indukt. bewiesen?

lg

4

Hallo

hast du das jetzt mit volls. indukt. bewiesen?

Ich weiss nicht, wie es Oliver gemacht hat, aber ich kann es ohne vollständige Induktion:

  1. =: Da wird die Summationsreihenfolge vertauscht. Man muss dabei etwas auf die neuen Summationsgrenzen achten. Auf jeden Fall ergibt das dann sum_{i=1}^{n}sum_{k=i}^{n} 1/i. Da der Summand nicht vom Index der inneren Summe abhängt, musst Du einfach die Summanden zählen und erhältst die dritte Summe von Oliver.
  2. =: Den Summanden aufteilen in (n+1)/i und -i/i und drauflosrechnen.
  3. =: Das kriegst Du schon hin.

Gruss Urs

5

hast du das jetzt mit volls. indukt. bewiesen?

Nein, einfach nachgerechnet, aber mit volls. indukt. geht es sogar noch einfacher:

Ind.anfang: n=1 : stimmt offensichtlich

Ind.schluss n->n+1 :

n+1 n <sub>Ind.Vor.</sub>
 ∑ H\_k = ∑ H\_k + H\_(n+1) = (n+1)H\_(n+1) - (n+1) + H\_(n+1)
k=1 k=1 = (n+2)H\_(n+1) - (n+1)
 = (n+2)H\_(n+2) - (n+2)

stimmt also auch.

Damit ist die Formel für alle n>1 bewiesen.

Gruß
Oliver

6

hmm oki,…aber wie kommst du vom ersten auf den zweiten schritt im folgenden:

(n+2)H_(n+1) - (n+1)
= (n+2)H_(n+2) - (n+2)

vielleicht bin ich blöd, aber ich seh das nicht auf dem ersten schritt.

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hmm oki,…aber wie kommst du vom ersten auf den zweiten
schritt im folgenden:

(n+2)H_(n+1) - (n+1)
= (n+2)H_(n+2) - (n+2)

Du addierst einfach
0 = 1 - 1 = (n+2)/(n+2) - 1

Und dann (n+2) ausklammern und
H_(n+1) + 1/(n+2) = H_(n+2)
benutzen.

Gruß
Oliver