Harmonischer Oszillator aus Spule und Kondensator

[Stefan_a18aa0]

Hallo!

Ich hab die Frage, wie ich rechnerisch an eine Schaltung ranzugehen habe, in der im Kreis ausschließlich eine Spule (mit Induktivität L) und ein Kondensator (mit Kapazität C) geschaltet ist.

Das ganze soll einen harmonischen Oszillator ergeben. Potentielle Energie des Kondensators und im B-Feld der Spule gespeicherte Energie als kinetische Energie sollen dabei schwingen.

Kann mir einer sagen, wie da die einzelnen Funktionen aussehen? Also Epot/Ekin, I, U, Ui oder einen Teil davon. Das mit den Wechselstromwiderständen hab ich nicht ganz kapiert bzw hab ich ein Problem, denn ich weiss nicht, wie ich das mit dem Schwingkreis vergleichen kann. Ist dieser Oszillator einfach ein perfekter Schwingkreis? Anfangen soll es mit einem geladenen Kondensator mit Q bzw -Q(und I=0 vermute ich mal)

Schon mal vielen Dank, Stefan

[Martin]

Hallo,

die auf dem Kondensator gespeicherte Ladung und die Spannung zwischen seinen Platten sind verknüpft durch

Q = C U

Die in der Spule induzierte Spannung und die zeitliche Änderung des durch sie fließenden Stroms ist verknüpft durch

U_ind = –L I’

Wegen U_ind = U kannst Du aus den beiden Gleichungen eine machen:

Q = –L C I’

Das sieht aus wie eine Gleichung für zwei Unbekannte, ist es aber nicht, weil Q’ = I. Also leitest Du beide Seiten nach t ab…

Q’ = –L C I’’

…und bekommst

I = –L C I’’

was Du umformen kannst zu

I’’ + 1/(L C) I = 0

Das ist eine lineare, homogene Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte Funktion I(t). Ihre Lösung ist wohlbekannt, nämlich eine ungedämpfte harmoniche Schwingung „a cos (ω t + φ₀)“ mit der Kreisfrequenz ω = 1/√(L C).

Das ganze soll einen harmonischen Oszillator ergeben.

Ergibt es auch.

Mit den Anfangsbedingungen solltest Du alleine klarkommen.

Gruß
Martin

[Stefan_a18aa0]

Eine Verständnisfrage noch
Hallo Martin!

Danke erstmal.

Ich frage mich, warum U=Uind gilt. Ich hätte eher gedacht, dass U=-Uind. Ich finde U=Uind merkwürdig, weil doch normalerweise Induktionen ihrer Ursache entgegenwirken. Wenn also vom geladenen Kondensator Elektronen anfangen, durch die Spule zu fließen, dann sollten sie zurückgetrieben werden.

Ich frage mich ddeshalb, was mit dem Kondensator, der Anfangs geladen ist, passiert. Fließen die Elektronen so weit, dass der Kondensator nach der halben Periode „andersherum“ geladen ist, oder fließen die Elektronen nur soweit, dass er gerade entladen ist und dann fließen sie schon wieder zurück?

Kurz:
Wird der Kondensator vollständig umgepolt?

VG, Stefan

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Ergänzend zu Martins Antwort und als „vertrauensbildende Maßnahme“:

mechanischer Oszillator | entspricht | elektromagnetischer Oszillator
------------------------+------+------+-----------------------------
potentielle Energie | el. Feldenergie
kinetische Energie | mag. Feldenergie
Auslenkung | Ladung auf dem Kondensator
Geschwindigkeit | Stromstärke
Beschleunigung | Änderungsrate der Stromstärke
träge Masse | Induktivität
Federkonstante | (Kehrwert der) Kapazität
rückstellende Kraft | Spannung am Kondensator
Trägheitskraft | induzierte Spannung

Wenn Du den mechanischen Oszillator verstanden hast, und jeweils die Begriffe wie in obiger Tabelle ersetzt, sollte auch der elektromagnetische Oszillator kein Problem sein

Michael

[Stefan_a18aa0]

Tschuldigung, glaube jetzt hab ich es gerafft…

Viel Dank

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo

Ich frage mich, warum U=Uind gilt. Ich hätte eher gedacht,
dass U=-Uind. Ich finde U=Uind merkwürdig, weil doch
normalerweise Induktionen ihrer Ursache entgegenwirken. Wenn
also vom geladenen Kondensator Elektronen anfangen, durch die
Spule zu fließen, dann sollten sie zurückgetrieben werden.

Das stimmt. Das ist der schwierigste Punkt am elektromagnetischen Schwingkreis. Die Spule bewirkt eine induzierte Spannung U_ind, die ihrer Ursache entgegen gerichtet ist, also Minus -LI-Punkt. Bei zunehmendem Strom im Uhrzeigersinn zeigt U_ind gegen den Uhrzeigersinn. Damit ein Strom durch diese so „stromfeindliche“ Spule fließt, muss man von außen eine Spannung anlegen, die diese induzierte Spannung kompensiert, nennen wir sie mal U_L= Minus U_ind. Wenn wir die Spannung am Kondensator U nennen und die Maschenregel betrachten, gilt:

U + U_L = 0
U = - U_L = -(-U_ind)
U = U_ind.

Ich frage mich ddeshalb, was mit dem Kondensator, der Anfangs
geladen ist, passiert. Fließen die Elektronen so weit, dass
der Kondensator nach der halben Periode „andersherum“ geladen
ist,

ja. (Genauso wie beim mechanischen Oszillator die Masse über die Gleichgewichtslage hinaus pendelt.)

oder fließen die Elektronen nur soweit, dass er gerade
entladen ist und dann fließen sie schon wieder zurück?

nein. (Sie hätten in diesem Zustand ja gar keine Veranlassung, zurück zu fließen)

Kurz:
Wird der Kondensator vollständig umgepolt?

ja. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, verhindert das Magnetfeld der Spule, dass der elektrische Strom augenblicklich zum Stillstand kommt. Er fließt stattdessen so lange weiter, bis das magnetische Feld vollkommen abgebaut ist. In diesem Zustand ist der Kondensator genau umgekehrt gepolt wie eine halbe Periode zuvor (Energieerhaltungssatz.

Michael

P.S.: Vermutlich war jetzt jemand schneller als ich. Mal sehen…

[Martin]

Hi nochmal,

Ich frage mich, warum U=Uind gilt.

es gilt, weil die hier vorliegende Art der Zusammenschaltung des Kondensators mit der Spule das erzwingt.

Ich hätte eher gedacht, dass U=-Uind.

Nein.

Ich finde U=Uind merkwürdig, weil doch
normalerweise Induktionen ihrer Ursache entgegenwirken.

Das stimmt, aber U_ind wird ja nicht von U verursacht, sondern von der zeitlichen Änderung des Spulenstroms I. Das Entgegenwirken ist in dem „–“ in der Gleichung U_ind = – L I’ berücksichtigt.

Wenn also vom geladenen Kondensator Elektronen anfangen, durch die
Spule zu fließen, dann sollten sie zurückgetrieben werden.

Ja. Stell Dir vor, Du bindest Dir ein Ende eines 20 m langen Gummibands an den Hosengürtel, und das andere an einen Baum. Wenn Du mit Schwung (= kinetische Energie) losläufst, erfährst Du vom ersten Millimeter an eine rücktreibende Kraft, aber da sie am Anfang noch sehr gering ist, kannst Du ohne Anstrengung ein paar Meter weit vorankommen. Du wirst allerdings langsamer (= Verlust an kinetischer Energie, dafür Zunahme der potentiellen Spannenergie im Gummiband).

Ich frage mich ddeshalb, was mit dem Kondensator, der Anfangs
geladen ist, passiert. Fließen die Elektronen so weit, dass
der Kondensator nach der halben Periode „andersherum“ geladen ist,

Ja.

oder fließen die Elektronen nur soweit, dass er gerade
entladen ist und dann fließen sie schon wieder zurück?

Nein! Sie fließen solange, bis der Kondensator genau andersherum geladen ist (z. B. von 8.3 V zum Zeitpunkt t auf –8.3 V zum Zeitpunkt t + T/2, T = Periodendauer)

Kurz: Wird der Kondensator vollständig umgepolt?

Ja! Er wird genauso umgepolt wie es der Pendelkörper bei einem Uhrenpendel wird:
Spannung Höhe des Pendelkörpers,
Strom Geschwindigkeit des Pendelkörpers.

Beide Systeme gehorchen derselben Differentialgleichung (x’’ + ω² x = 0). Sie unterscheiden sich nur in der Art der Energiespeicher.

Mit freundlichem Gruß
Martin

[Michael_Bauer_c1319c]

Zeilenumbruch
Sorry, dass der Zeilenumbruch nicht funktioniert. Das ist aber nicht mein Fehler: Ich habe nichts Schlimmes gemacht

[Martin]

P.S.: Vermutlich war jetzt jemand schneller als ich. Mal sehen…

Nein, Du warst schneller, aber höchstens 60 Sekunden .

[Stefan_a18aa0]

Alternative Lösung der Differentialgleichung?
Hallo!

I’’ + 1/(L C) I = 0

Das ist eine lineare, homogene Differentialgleichung erster
Ordnung für die unbekannte Funktion I(t). Ihre Lösung ist
wohlbekannt, nämlich eine ungedämpfte harmoniche Schwingung „a
cos (ω t + φ₀)“ mit der Kreisfrequenz
ω = 1/√(L C).

Eine andere Lösung der Diff.gleichung ist
I(t)=e^[i\*t\*1/√(L C)]

Das hat doch auch irgendeine Bedeutung oder? Birgt das nicht die Lösung in sich, wie Schwingungen perfekt gedämpft werden, so dass zB ein Zeigermessgerät nie überschlägt?
Ich meine, in der Mechanik hätten wir irgendwie sowas gehabt…

VG, Stefan

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

I’’ + 1/(L C) I = 0

Das ist eine lineare, homogene Differentialgleichung erster
Ordnung für die unbekannte Funktion I(t). Ihre Lösung ist
wohlbekannt, nämlich eine ungedämpfte harmoniche Schwingung „a
cos (ω t + φ₀)“ mit der Kreisfrequenz
ω = 1/√(L C).

Eine andere Lösung der Diff.gleichung ist
I(t)=e^[i\*t\*1/√(L C)]

Da fehlt was entscheidendes, nämlich die Amplitude der Stromstärke. Es müsste heißen:

I(t) = Î * e^[i\*t\*1/√(L C)]

(von Martin wurde Î mit „a“ bezeichnet. Der Realteil der Exponentialfunktion ist dasselbe wie der Kosinus in Martins Antwort. Übrigens hätte er im Sinne der Aufgabe (Anfangs voll aufgeladener Kondensator) nicht den Kosinus nehmen sollen, sondern den Sinus, da sich das Anfangswertproblem I(t=0) = 0 nicht von einer Kosinusfunktion erfüllen lässt.

Das hat doch auch irgendeine Bedeutung oder? Birgt das nicht
die Lösung in sich, wie Schwingungen perfekt gedämpft werden,
so dass zB ein Zeigermessgerät nie überschlägt?
Ich meine, in der Mechanik hätten wir irgendwie sowas
gehabt…

Dämpfung tritt nur auf, wenn ein ohmscher Widerstand Teil des Stromkreises ist. Dann taucht in der Maschenregel neben U und U_L auch noch der Summand U_R auf:

U + U_L + U_R = 0

1/C * Q + L I’ + R I = 0

mit I = Q’ folgt

1/C * Q + L Q’’ + R Q’ = 0

Diese DGL wird durch das charakteristische Polynom

L λ² + R λ + 1/C = 0

beschrieben mit den bekannten Nullstellen (Mitternachtsformel). Diesen sind wie oben komplex, aber diesmal nicht rein imaginär. Daher hat die Lösung der DGL folgende Gestalt:

Q(t) = Q_max * e^-kt * e^-iωt

Die Exponentialfunktion mit imaginären Exponenten ist der periodische Anteil. Die Exponentialfunktion mit reellem Exponenten beschreibt ein exponentielles Abklingen (eben die Dämpfung). Für eine bestimmte Kombination für L, R und C ist die Determinante der Mitternachtsformel genau Null. Dies ist der aperiodische Grenzfall, den Du in Deiner Nachfrage ansprichst. Bei dieser Kombination wird die Energie, die Anfangs im Kondensator steckt, am schnellsten verbraten.

In meine Tabelle von Entsprechungen könnte man also noch eine weitere Zeile eintragen: Der stokes’sche Reibung entspricht der ohmsche Widerstand.

Michael

[Michael_Bauer_c1319c]

Korrektur
Korrektur:

Q(t) = Q_max * e^-kt *
e^-iωt

Q(t) = Q_max * e^-kt * e^+iωt

-iωt löst die Gleichung zwar auch. Man verwendet aber fast ausschließlich die positve Lösung.

Übrigens: Martin hat die DGL für die Stromstärke aufgestellt, ich für die Ladung. Beides ist möglich. Bei der gedämpften Schwingung halte ich persönlich jedoch die Ladung für anschaulicher: Für L=0 geht die Lösung nämlich genau in die Entladekurve eines Kondensators über. Q(t) gibt dann zu jedem Zeitpunkt den Ladezustand des Kondensators an. (für eine DGL für I lassen sich freilich genauso Argumente finden).

Michael

[Oliver_a32c43]

Hallo.

Die Spule bewirkt eine
induzierte Spannung U_ind, die ihrer Ursache
entgegen gerichtet ist, also Minus -LI-Punkt.

Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz aus der Lenzschen Regel zu folgern, mag zwar intuitiv logisch erscheinen ist aber dennoch falsch.

Verfolgt man die Herleitung des Induktionsgesetzes so sieht man, dass das Minuszeichen einzig und allein aus der Konvention folgt, mit der die Richtung des Flächennormalenvektors im Stokes’schen Satz mit dem Wegintegral verknüpft wird (Weist der Daumen der rechten Hand in die positive Richtung der Fläche des Flächenintegrals, so zeigen die gekrümmten Finger in die Richtung des Integrationsweges des Linienintegrals). Man könnte aber den Normalenvektor ebensogut in die andere Richtung legen, dann würde im Induktionsgesetz ein Pluszeichen stehen.

Das Vorzeichen ist also eine rein mathematische Festlegung, ohne physikalischen Gehalt. Schließlich kann kein Messgerät der Welt die Orientierung einer Fläche messen!

Gruß
Oliver

[Michael_Bauer_c1319c]

Sagen wir mal so: Es gibt gewisse Konventionen, die beschreiben, was wir mit einem Rechtssystem, einem Kreuzprodukt, einer Flächennormalen, … usw. meinen. Wenn wir uns konsequent an die Vorgaben halten (die wir uns freilich willkürlich selbst auferlegt haben), dann muss die induzierte Spannung ein negatives Vorzeichen haben. Sonst würde es der lenzschen Regel widersprechen (Verletzung des Energieerhaltungssatzes durch positive Rückkopplung).

Gruß, Michael

[Oliver_a32c43]

Sonst würde es der
lenzschen Regel widersprechen (Verletzung des
Energieerhaltungssatzes durch positive Rückkopplung).

Die Lenzsche Regel besagt einfach nur, dass die induzierte Spannung so gerichtet ist, dass daraus resultierende Ströme der Änderung des Magnetfeldes entgegenwirken. Diese Formulierung ist unabhängig von irgendwelchen Konventionen oder Vorzeichen und hätte auch in der „positiven Version“ des Induktionsgesetzes ihre Gültigkeit.

Gruß
Oliver

[Michael_Bauer_c1319c]

Sonst würde es der
lenzschen Regel widersprechen (Verletzung des
Energieerhaltungssatzes durch positive Rückkopplung).

Die Lenzsche Regel besagt einfach nur, dass die induzierte
Spannung so gerichtet ist, dass daraus resultierende Ströme
der Änderung des Magnetfeldes entgegenwirken. Diese
Formulierung ist unabhängig von irgendwelchen Konventionen
oder Vorzeichen und hätte auch in der „positiven Version“ des
Induktionsgesetzes ihre Gültigkeit.

Beispiel Selbstinduktion: Ich definierte eines der Enden der Spule als A, das andere als B. Dann beträgt die induzierte Spannung U_{ind, AB} = - L dI_AB/dt. Würde ich das Induktionsgesetz mit einem „+“ schreiben, dann wäre die induzierte Spannung mit dem gleichen Vorzeichen behaftet wie die Änderungsrate des elektrischen Stroms. Man müsste sie also in umgekehrter Richtung messen, wie die Stromstärke. Sonst gerät man in Konflikt mit der Lenzschen Regel. Wenn man aber bei Strom und Spannung die gleiche Richtung wählt, dann muss U_ind das negative Vorzeichen tragen.

Was ich damit sagen will: Ich gebe Dir Recht, dass das Minus im Induktionsgesetz nicht die Lenzsche Regel ist. Wenn man aber die Bezeichnungen so wählt wie in diesem Beispiel (und auch ansonsten allgemein üblich), dann muss das Induktionsgesetz mit Minus schreiben, weil sonst die Lenzsche Regel verletzt wäre.

Michael

[Oliver_a32c43]

Beispiel Selbstinduktion: Ich definierte eines der Enden der
Spule als A, das andere als B. Dann beträgt die induzierte
Spannung U_{ind, AB} = - L dI_AB/dt. Würde
ich das Induktionsgesetz mit einem „+“ schreiben, dann wäre
die induzierte Spannung mit dem gleichen Vorzeichen behaftet
wie die Änderungsrate des elektrischen Stroms.

Nein, würde man das Induktionsgesetz mit einem „+“ schreiben, d.h. würde man den Normalenvektor der Spulenfläche einfach umdrehen, dann würde die Induktivität L, die ja auch über das Flächenintegral definidert ist, ebenfalls ihr Vorzeichen wechseln: L’ = - L
Die induzierte Spannung wäre also immernoch entgegesetzt zur Änderungsrate des elektrischen Stroms und die Lenzsche Regel bliebe damit unverletzt. Woher sollte die Physik auch wissen, wierum ich meine Spulenfläche orientiere?

Ich will diesen Frett aber auch nicht unnötig in die Länge ziehen, ich finde einfach nur, dass diesem Minuszeichen entschieden zu viel Aufmerksamkeit geschenkt wird. Dann müsste man konsequenter Weise auch die Vorzeichen in den unzähligen anderen Gleichungen diskutieren.

siehe auch:

http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/altlast/2…

Gruß
Oliver