Hallo,
das Amt kann in Notlagen (dies scheint hier der Fall zu sein) eine besondere Unterstützung (z.B. zinsloses Darlehen nach § 15 SGB XII) gewähren.
Bzgl. des Umzugs ist dem Amt die Notwendigkeit zu erklären und es werden dann (bei entsprechender Genehmigung vom Amt) auch Umzugskosten (falls Sie gesund sind, betrifft dies in der Regel die Fahrzeugkosten, Helfer sollten aus dem Freundes- bzw. Bekanntenkreis kommen, welche keine „Vergütung“ aber eine „Versorgung“ erhalten können) gewährt.
Die Ämter entscheiden hier oftmals sehr unterschiedlich. Ich empfehle einen entsprechenden schriftlichen Antrag zu stellen und möglichst klar zu benennen, um was Sie bitten (z.B. Transporter zur Miete in Höhe von x-Euro, geschätzte Kosten Kraftstoff, geschätzte Verpflegungskosten für die Helfer, es gibt keine einheitliche Regelung, 10 Euro pro Tag/Helfer sind aber nach meiner Erfahrung realistisch).
Falls Sie in eine andere Stadt umziehen wollen, ist übrigens das alte Amt für die Umzugskosten zuständig, während Wohnungsbeschaffungskosten und Mietkaution vom neuen Amt übernommen werden.
Mit freundlichen Grüßen
hl