Hauptachsentransformation

[Rainer_Endrich_14b67b]

Sers

Ich habe ein Problem mit der Hauptachsentransformation, speziell mit der Trafomatrix. Und zwar kapier ich nicht, wieso in der Trafomatrix die Eigenvektoren drin stehen müssen? Kann mir das jemand erklären, ich blicks einfach net.

Mfg
Rainer

[Timo_Waechtler]

Wieso in T eine Basis der Eigenräume stehen muss?

Sei die Matrix A diagonalisierbar, d.h. es existiert eine Matrix T mit vollem Rang mit T^(-1)*A*T=D mit D als Diagonalmatrix. Man beachte, dass in D die Eigenwerte stehen!
Sei weiterhin e₁, … , e_n die Standartbasis des K^n und b_i:=T*e_i. Da T vollen Rang hat (und damit einen Isomorphismus von K^n->K^n definiert) ist auch
b₁, … , b_n eine Basis des K^n. Wenn man nun einfach „durchrechnet“ sieht man, dass b_i und damit die Spalten von T Eigenvektoren von A sind:
A*b_i=A*T*e_i=T*(T^-1*A*T*e_i=T*D*e_i=
T*[Eigenwert]*e_i=[Eigenwert]*b_i.
Ich hoffe, dass nun alles klar ist.

Gruß,
Timo

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