Hebbare definitionslücke

[Anonym_a1930a1d2dac]

Hallo,
ich such jetzt zwar schon seit einiger Zeit was im Netz, aber ich find einfach keine Erklärung… Ich versteh nicht was Polstellen, (hebbare) Definitionslücken, Löcher und Nullstellen sind. Löcher und Nullstellen sagen mir zwar im Graphen etwas, aber bei gebrochenrationalen Funktionen blick ich nicht mehr durch.
Ich hab nun Aufgabe a) f(x)=(x-1)/(x-1)
b) f(x)=((x-1)^2)/(x-1)
c) f(x)=(x(x-1))/x

die Lösung lautet nun bei a) in x0=1 hebbare Def.Lücke, hebbar durch f(1)=1
b) x0=1 hebbare Def.Lücke, hebbar durch f(1)=0
c) x0=0 hebbare Def.Lücke, hebbar durch f(0)=-1

Nun weiß ich nicht wie man auf die Werte kommt, bzw. auf das x0= nehme ich an indem man den Zähler 0 bekommen möchte… Aber das andere??

Vielen Dank schonmal

[TheBozz]

Hey Judel,

ok, also ich versuch es mal zu erklären:

Definitionslücke

Als Definitionslücke bezeichnet man die „punktuelle“ Werte, die in eine Funktion nicht eingesetzt werden dürfen. So zum Beispiel bei 1/x darf man die 0 nicht einsetzen - 0 ist somit Definitionslücke.
(Mit punktuell mein ich, dass man einzelne Werte nicht einsetzen darf. Bei Wurzel(x) ist es verboten, negative Werte einzusetzen - diese wären aber nicht „punktuell“)

Polstelle

Eine Polstelle existiert bei einer Definitionslücke, wenn der Funktionswert in der Nähe der Definitionslücke gegen ± unendlich abhaut.
Bei 1/x wäre es ja so, dass wenn ich Werte einsetze, die knapp unter 0 sind, dass mein Funktionswert ins unendlich Negstive abhaut. Für Werte knapp über 0 gehen die Funktionswerte ins unendlich Positive.

Lücke

Eine Lücke ist ebenfalls bei einer Definitionslücke, nur das hier der Funktionswert nicht ins Unendlich abhaut.
Zum Beispiel schau ich mir die Funktion f(x) = x/x. Wie man weiß, könnte man kürzen und somit die konstante Funktion g(x) = 1 erhalten.
g(x) und f(x) sind genau gleich bis auf eine einzige Ausnahme:
Bei f(x) ist es nicht erlaubt die 0 einzusetzen - bei g(x) ist es allerdings kein Problem --> hier würde g(0) = 1 rauskommen.
Somit hat die Funktion f(x) an dem Punkt (0|1) eine Lücke.

Nochmal kurz angemerkt:
Eine Lücke existiert genau dann an der Stelle x, wenn x zugleich Nullstelle des Zählers als auch des Nenners ist.

Einigermaßen verstanden und deine Aufgaben nachvollziehbar?
Gruß René

[anon49514712]

Hoi,

Ich versteh nicht was
Polstellen, (hebbare) Definitionslücken, Löcher und
Nullstellen sind. Löcher und Nullstellen sagen mir zwar im
Graphen etwas, aber bei gebrochenrationalen Funktionen blick
ich nicht mehr durch.

Polstellen: Wenn du mal so einen Graphen durchlaufen lässt, wirst du erkennen können, das der Graph auf einer Seite nach -y ins unendliche fällt und irgendwann von +y im Unendlichen wieder auftaucht.
Das ist dann meistens nur an einem gewissen X Wert der Fall, wo die „Polstelle“ liegt. Das ist dann so zu sagen der „Drehpunkt vom -y unendlich ins +yunendlich“ geht.

Nullstellen: Die Stellen, wo der Graph die X-Achse schneidet.

Löcher: Bei manchen Graphen hast du „Definitionslücken“. Wenn du nun den Graphen zeichnest, gibt es X-Werte, wo du keinen Y-Wert dazu hast. Das sind dann deine Löcher(meistens, wenn du beim Nenner 0 heraus bekommst, für ein bestimmtes X).

Nun weiß ich nicht wie man auf die Werte kommt, bzw. auf das
x0= nehme ich an indem man den Zähler 0 bekommen möchte…
Aber das andere??

Polstelle weiß ich gerade nicht aus dem Handgelenk, sry…

Hanzo

[Che_Netzer]

Hallo,

ich such jetzt zwar schon seit einiger Zeit was im Netz, aber
ich find einfach keine Erklärung… Ich versteh nicht was
Polstellen, (hebbare) Definitionslücken, Löcher und
Nullstellen sind. Löcher und Nullstellen sagen mir zwar im
Graphen etwas, aber bei gebrochenrationalen Funktionen blick
ich nicht mehr durch.

Polstellen: Du suchst dir eine Stelle auf der x-Achse aus. Wenn die Funktion nun an dieser Stelle ins Unendliche (egal ob positiv oder negativ) geht, ist das eine Polstelle. Beispiel:
f(x)=x^-1, also eine Hyperbel. An der Stelle 0 liegt hier eine Polstelle vor.

„hebbare Definitionslücken“: das „hebbar“ kenne ich als stetig fortsetzbar, dazu findest du sicher auch noch mehr im Internet.
Jedenfalls kann es natürlich passieren, dass eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, meist wegen einer 0 im Nenner. Die Funktion ist an dieser Stelle genau dann stetig fortsetzbar, wenn die Funktion rechts und links von dieser Stelle gegen die gleiche, reelle Zahl strebt. Bildich gesprochen, wenn man eine durchgängige Linie hat, in der nur ein winzig kleiner Punkt fehlt.

Löcher: Ich vermute, die kenne ich als Sprungstellen. Die liegen vor, wenn die Funktion rechts von einer bestimmten Stelle gegen eine Zahl läuft, auf der anderen gegen eine andere.

Nullstellen: Die sind schön einfach zu erklären. Die Stelle x₀ ist genau dann Nullstelle, wen f(x₀) = 0.

Nun noch ein paar genauere Definitionen, mit Grenzwerten:

1. x₀ ist Polstelle genau dann, wenn:
   \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \pm \infty und \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = \pm \infty

2. f ist an der Stelle x₀ stetig fortsetzbar, wenn f(x₀) nicht definiert und:
   \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) =: a
   Die stetige Fortsetzung von f ist dann:
   \tilde f(x) = \left{\begin{array}{cl} f(x), & \mbox{falls }x \not= x_0 \ a, & \mbox{falls} x = x_0\end{array}\right.

3. Bei x₀ liegt eine Sprungstelle vor, wenn:
   \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = a \not= \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = b

Ich hab nun Aufgabe a) f(x)=(x-1)/(x-1)

b) f(x)=((x-1)^2)/(x-1)

c) f(x)=(x(x-1))/x

die Lösung lautet nun bei a) in x0=1 hebbare Def.Lücke,
hebbar durch f(1)=1

b) x0=1 hebbare Def.Lücke, hebbar durch f(1)=0

c) x0=0 hebbare Def.Lücke, hebbar durch f(0)=-1

Nun weiß ich nicht wie man auf die Werte kommt, bzw. auf das
x0= nehme ich an indem man den Zähler 0 bekommen möchte…
Aber das andere??

x₀ wird ganz einfach bestimmt, indem eine Stelle gesucht wird, an der f nicht definiert ist. D.h. eine, für die der Nennerterm 0 ist. (nicht der Zähler!)
Und den Funktionswert für die stetige Fortsetzung erhälst du, indem du den Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ bildest.
Wenn dabei rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen, kannst du den Grenzwert benutzen, um damit f(x₀) zu definieren. Die stetige Fortsetzung \tilde f ist daher - redundanterweise - stetig.

Wenn dir Grenzwerte oder spezielle Begriffe nichts sagen sollte, frag einfach nochmal nach.

mfg,
Ché Netzer

[Haus_Mann]

Hallo,

ich such jetzt zwar schon seit einiger Zeit was im Netz

Tafelwerk genügt eigentlich.
Bezüglich gebrochenrationaler Funktionen, Dein Beispiel meinetwegen [;f(x)=\frac{x-1}{x-1};]:
Definitionslücken, wie der Name schon sagt, Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, also [;x_0=1;]. Behebung meint, durch Definition eines Wertes an dieser Stelle die Unstetigkeit zu beheben; hier durch [;y(1)=1;]. Das funktioniert, wenn die Stelle nur geinsame Nullstelle von Zähler und Nenner ist. Mit der Reparatur also [;f(x)=\frac{x-1}{x-1}=1;]. Analog [;\frac{x}{x};] oder [;\frac{(x+1)(x-1)}{x^2-1};].

„Löcher“ kenne ich bisher noch nicht.

Nullstellen von [;y=\frac{u(x)}{v(x)};] kurzgesagt bei [;x\ u(x)=0;\ v(x)\neq0;].

Polstellen [;u(x)\ne 0;\ v(x)=0;] oder, lax: wenn [;\frac{\left(x-x_0\right)^m}{\left(x-x_0\right)^n};] mit [;m

[Anonym_a1930a1d2dac]

erstmal vielen Dank für die Antworten
mit den definitionen bin ich immerhin mal ein bisschen schlauer

was ich allerdings immer noch nicht versteh ist dieses „hebbar für f()= “
und daher auch die erklärung
„Und den Funktionswert für die stetige Fortsetzung erhälst du, indem du den Grenzwert von f(x) für x gegen x0 bildest.
Wenn dabei rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen, kannst du den Grenzwert benutzen, um damit f(x0) zu definieren. Die stetige Fortsetzung ist daher - redundanterweise - stetig“

kann man das an einer meiner aufgaben erklären?
liebe grüße

[Che_Netzer]

erstmal vielen Dank für die Antworten

mit den definitionen bin ich immerhin mal ein bisschen
schlauer

was ich allerdings immer noch nicht versteh ist dieses
„hebbar für f()= “

und daher auch die erklärung

"Und den Funktionswert für die stetige Fortsetzung erhälst
du, indem du den Grenzwert von f(x) für x gegen x0 bildest.

Wenn dabei rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert
übereinstimmen, kannst du den Grenzwert benutzen, um damit
f(x0) zu definieren. Die stetige Fortsetzung ist daher -
redundanterweise - stetig"

Ich nehme mal an, dass du mit Stetigkeit vertraut bist.
Daher hier nur die formelle Definition:
f ist an der Stelle x₀ stetig, wenn f(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)
(D.h. alles davon muss existieren)
Nun kann der Fall sein, dass f(x₀) nicht existiert (nicht definiert ist), aber rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert existieren trotzdem und sind gleich. D.h. in der Funktion fehlt ein Stückchen, aber auf beiden Seiten endet die Funktion am gleichen Punkt.
Jetzt wäre es natürlich angenehm, wenn dies Funktion dort stetig wäre. Jetzt kann man sich an die bildliche Definition von Stetigkeit erinnern: Mit einem Strich durchziehbar. Wenn also diese kleine Definitionslücke nicht wäre, wäre die Funktion stetig. Von daher definiert man einfach f(x₀) so, dass f stetig ist.

Beispiel: f(x)=x/x
Eigentlich könnte man das zu f(x)=1 kürzen. Aber da Kürzen ja bedeutet, beide Seiten durch x zu teilen, geht das für x=0 nicht. Und f(0) = 0/0 ist nicht definiert.
Aber an allen anderen Stellen ist f(x)=1.
Um aus f eine schöne, konstante Funktion zu machen, setzt man f(0) := 1. (Hinweis: := ist das definierende Gleichheitszeichen, falls unbekannt)
Denn man weiß ja, dass der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert 1 ist.

Beispiel: g(x) = \frac{x + 1}{x}
g ist an der Stelle 0 natürlich auch nicht definiert. Allerdings gibt es hier keine Möglichkeit, die Funktion stetig fortzusetzen. Nicht nur, dass der rechtsseitige Grenzwert sich vom linksseitigen unterscheidet, sie sind auch noch unendlich bzw. -unendlich.

kann man das an einer meiner aufgaben erklären?

Ich nehme Aufgabe 2:
f(x) = \frac{\left(x + 1\right)^2}{x + 1}
Offensichtlich ist der Nenner hier für x₀ = -1 Null.
Also wird der Grenzwert bestimmt:
\lim\limits_{x \to -1}\frac{\left(x + 1\right)^2}{x + 1} = \lim\limits_{x \to -1}\left(x + 1\right) = 0
(rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert stimmen überein)
(Den Term (x + 1) konnte man kürzen, da er nicht 0 ist, sondern nur den Grenzwert 0 hat)
Somit kann man also f(-1) := 0 definieren und f ist an der Stelle -1 stetig.

Hinweis: Für die stetige Fortsetzung einer Funktion wird meist eine neue Funktion erstellt, \tilde f, wie in meiner ersten Antwort verwendet.

Kurzfassung: Ist f(x) für ein bestimmtes x₀ nicht definiert, stimmen aber rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert überein (und ist dieser eine reelle Zahl), so wird f(x₀) als dieser Grenzwert definiert.

mfg,
Ché Netzer

[Anonym_a1930a1d2dac]

ok vielen dank hoffentlich kann ich das auch in einer woche noch