Also ich habe eine Frage zur hebbaren Definitionslücke.
Normalerweise gucke ich ob eine Definitionslücke hebbar ist, in dem ich den Nenner des gebrochen-rationalen-Polynoms wegkürze, und wenn das nicht geht, ist die Definitionslücke nicht hebbar.
Jetzt habe ich aber auch gehört das man das so machen kann in dem man die Nullstellen des Zählerpolynoms berrechnet und die Nullstellen des Nennerpolynoms.
Und wenn beide die gleiche Nullstelle haben, dann ist die Definitonslücke an dieser Stelle hebbar.
Ich habe da jetzt schon länger drüber nachgedacht, aber ich verstehe die Logik dahinter einfach nicht.
Könnte mir das vielleicht jemand mal mit einfachen Worten erklären, warum das so ist?
Normalerweise gucke ich ob eine Definitionslücke hebbar ist,
in dem ich den Nenner des gebrochen-rationalen-Polynoms
wegkürze, und wenn das nicht geht, ist die Definitionslücke
nicht hebbar.
richtig
Jetzt habe ich aber auch gehört das man das so machen kann in
dem man die Nullstellen des Zählerpolynoms berrechnet und die
Nullstellen des Nennerpolynoms.
Und wenn beide die gleiche Nullstelle haben, dann ist die
Definitonslücke an dieser Stelle hebbar.
das ist auch richtig
Ich habe da jetzt schon länger drüber nachgedacht, aber ich
verstehe die Logik dahinter einfach nicht.
Könnte mir das vielleicht jemand mal mit einfachen Worten
erklären, warum das so ist?
man kann ein Polynom in lineare Faktoren zerlegen.
z.B.
das Polynom ax²+bx+c könnte man so zerlegen, dass es folgende Form hat (x-m)*(x-n).
konkretes Beispiel: x²-5x+6 könnte man auch darstellen durch (x-3)*(x-2). Beide Darstellungen sind exakt gleich.
die 2 Darstellungsform hat den Vorteil, dass die Nullstellen sehr leicht sichtbar sind, nämlich genau dann, wenn ein linearer Faktor, d.h. eine Klammer, Null wird. Also im allgemeinen Fall sind die Nullstellen bei
x=m und x=n
im konkreten Fall
x=3 und x=2.
Die Klammern zeigen also die Nullstellen eines Polynoms an
Eine behebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Nullstelle des Nennerpolynoms(eine Klammer im Nenner) gekürzt werden kann gegen eine Nullstelle des Zählers (Klammer im Zähler).
So hast du das bisher gemacht.
Kürzen kannst du aber nur dann, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner einen gleichen Faktor haben, also die gleichen Klammer. Und die Klammern sind nichts anderes als Nullstellen des Polynoms.
Also: Gemeinsamer Faktor im Zähler und Nenner bedeutet die gleiche Klammer oder die gleiche Nullstelle.
Deswegen kannst du beides machen, es ist mathematisch genau das gleiche. Nur dass du etwas anders rechnest.
Klar soweit?
Jetzt habe ich aber auch gehört das man das so machen kann in
dem man die Nullstellen des Zählerpolynoms berrechnet und die
Nullstellen des Nennerpolynoms.
Und wenn beide die gleiche Nullstelle haben, dann ist die
Definitonslücke an dieser Stelle hebbar.
das ist auch richtig
nicht ganz, man muß auch die Vielfachheit der Nullstellen einbeziehen, so hätte bei x/x^2 sowohl Zähler- als auch Nennerpolynom 0 als Nullstelle. Allerdings hat x/x^2=1/x in 0 keine hebbare Definitionslücke.
obwohl erledigt, möchte ich noch eine Eselsbrücke hinterherschieben:
„Zahl durch Null“ divergiert (Polstelle)
„Null durch Null“ kann behoben (also geeignet definiert) werden.
man kann ein Polynom in lineare Faktoren zerlegen.
z.B.
das Polynom ax²+bx+c könnte man so zerlegen, dass es folgende
Form hat (x-m)*(x-n).
Fast: Du brauchst noch einen konstanten Faktor, also
ax2+bx+c = t*(x-m)*(x-n).
Auf die Vielfachheit hat ja Sebastian schon hingewiesen. Wenn die Nullstelle im Nenner mehrfach auftritt, muss man sie entsprechend oft aus dem Zaehler kuerzen koennen.