Ich hab das Gefühl ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Kann mir einer von euch vielleicht liebenswürdigerweise auf die Sprünge helfen, wie ich das Hebelgesetz mathematisch herleiten kann.
Gegeben ist ein 10m langer Hebel und zwei Kräfte die an beiden Seiten mit 4N und 10N wirken. Es wird angenommen man kennt das Hebelgesetz nicht, wie kann ich es dann entwickeln?
Besten Dank im Voraus
Anne
Hi.
Tja, was sollich sagen, Manni hat das Thema eigentlich erschöpfend behandelt. Trotzdem kommt es mir vor, als ob mein Beitrag auch noch erhellend sein könnte. Also, erstens, ein physikalisches Gesetz kann man nicht mathematisch herleiten, weil die Mathematik gar nichts von der Physik weiß, sondern immer nur als Hilfsmittel zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge dient. (Das ist nicht der einzige Zweck der Mathematik, aber in der Physik ist er es). Man kann Physik immer nur auf Physik zurückführen, wenn auch mit mathematischen Hilfsmitteln. Ist also zweitens die Frage, welche Physik darf vorausgesetzt werden bei der von dir gewünschten Herleitung? Die Aufgabestellung ist, so gesehen, unfair. Ich könnte unfair antworten: Wir setzen das Hebelgesetz voraus, und damit es hergeleitet (in 0 Schritten). Da du aber sagst, es sei nicht bekannt, geht das nicht.
Jetzt ein etwas fairerer Versuch: Wie Manni vermute ich mal, dass eine Herleitung aus dem Energieerhaltungssatz akzeptabel wäre. Der ist immerhin ein grundlegendes physikalisches Prinzip (obwohl das Hebelgesetz in gewisser Weise auch eins ist). Stellt sich Frage 3, wie sind die Vorgaben gemeint? 4N und 10N und 10m Hebel. Jedenfalls muss es wohl ein zweiarmiger Hebel sein, sonst hätte er nicht zwei Enden. Sieht das so aus?
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
O ^ O
4N 10N
Dann wäre der Hebel nicht im Gleichgewicht und ich kann gar nichts beweisen. Oder höchstens, dass er nicht im Gleichgewicht ist. Ich lasse daher mal die 10m vorerst weg und nehme an, der Hebel SEI im Gleichgewicht. Das Hebelgesetz ist nicht bekannt, sagst du, ich weiß also nicht, wo ich den Stützpunkt unterlegen soll. Ich tu ihn irgendwo hin:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
O r<sub>1</sub> ^ r<sub>2</sub> O
4N 10N
r1 und r2 sind die beiden Hebelarme. Da die jetzt vermutlich unterschiedlich lang sind und der Hebel selber auch schon was wiegt, kommt er nun bereits unbelastet aus dem Gleichgewicht. Wir müssen also im Folgenden annehmen, der Hebel sei masselos (Da sieht man, wie wenig die Mathematik von der Physik versteht). Und nu kommt endlich der Energiesatz ins Spiel. Drück auf der Seite mit 4N eine Strecke von sagen wir mal 1m runter. Dann arbeitest du W = F*s = 4Nm (4Joule). Mit der kannst auf der 10N-Seite (wegen Energieerhaltung) auch 4Nm arbeiten. Wenn da nun die 10N hängen, muss also auch 10N*x=4Nm sein, aufgelöst x=4Nm/10N=0,4m. Im Bild:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_|0,4m rauf
1m | r<sub>1</sub> ^ r<sub>2</sub> O
runter| 10N
v4N
Der Rest ist Strahlensatz (damit die Mathematik was tun kann):
0,4m/r2 = 1m/r1
Weißt du noch, wo die 0,4m herkamen? Das war 4Nm/10N. Eingesetzt:
4Nm/(10N*r2) = 1m/r1 | * 10N
4Nm/r2 = 10Nm/r1 | :1m
4N/r2 = 10N/r1 | *r1*r2
4N*r1 = 10N*r2
Das ist eigentlich das Hebelgesetz (für den Spezialfall 4N und 10N). Was ich mit den 10m soll, weiß ich immer noch nicht. Vielleicht, wenn der Hebel doch 10m lang (und dann aber masselos!) ist, bekäme man die Zusatzbedingung r1+r2=10m. Dann könnte man r1 und r2 noch ausrechnen. Hat mit dem eigentlichen Hebelgesetz zwar nix mehr zu tun, aber wenns denn Spaß macht:
4N*r1 = 10N*r2 | :4N
r1 = 2,5*r2
Einsetzen:
r1+r2 = 10m
2,5r2 + r2 = 10m
3,5 r2 = 10m
r2 = 10m / 3,5 = 20/7 m.
r1 = 10m - r2 = 50/7 m.
Macht das jetzt irgendwen glücklich?
So long
Eckard C.
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Hallo Anne,
nehmen wir an, dass der Hebel (10m Länge) selbst gewichtslos ist. Dann brauchst Du nur folgendes Axiom vorzugeben: Die Summe aller Kräfte in einem geschlossenen System ist gleich Null!
Dein geschlossenes System besteht aus a) einer Strecke L = 10m für den Hebel b) dem Punkt a einer der einen Seite des Hebels mit der Kraft A = 4N, die (angenommen!) senkrecht wirkt c) dem Punkt b an der anderen Seite des Hebels mit der Kraft B = 10N sowie d) dem Punkt c irgendwo zwischen a und b an dem der Hebel gelagert ist.
Die Strecke L kannst Du außerdem in l1 und l2 teilen, wobei die Strecke l1 zwischen a und c und die Strecke l2 zwischen b und c liegt.
Horizontale Kräfte existieren bei der Aufgabenstellung nicht, also ist Summe H-Kräfte = 0 erfüllt.
Vertikale Kräfte existieren, nämlich A und B sowie als Lagerkraft C, aus A+B+C=0 ergibt sich C= - (A+B), d.h. die Lagerkraft bei C ist -10N.
Jetzt muss auch noch erfüllt sein: Summe der Momente im Gesamtsystem = 0. Ausgehend vom „Drehpunkt“ c des Hebels kannst Du somit formulieren: A x l1 + B x l2 = 0, denn wäre das Gesamtmoment am Punkt c nicht gleich null, dann würde der Hebel um den Punkt c „rotieren“ = also nicht in Ruhe sein = Verletzung des Axiom „Summe aller Kräfte gleich Null“.
Durch Umformung ergibt sich: A / B = l2 / l1
EInzige Voraussetzung um das Hebelgesetz herzuleiten ist also, das Axiom „Summe aller Kräfte im Gesamtsystem gleich Null“ anzuwenden.
Gruss
Moritz
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