Hallo, ich hätte einmal eine Frage zur Quantenmechanik:
Die Heisenbergsche Unschärferelation sagt ja aus, dass sich der Ort und der Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig scharf messen lässt. Dieses hängt damit zusammen, dass die Operatoren p und x nicht vertauschen: dx*dp >= 0,5*|[x,p]|.
Ist es denn damit unmöglich den Ort scharf zu messen? - schließlich verbietet sie mir in meinen Augen erstmal nur, dass ich nicht GLEICHZEITIG Impuls und Ort scharf messen kann. Wenn ich den Ort scharf messe, dann müsste die Wellenfunktion ja eine Dirac-Funktion sein - ist dieses eine gültige Wellenfunktion für ein Teilchen, oder ist soetwas überhaupt nicht erlaubt?
Vielen Dank für eine Antwort,
viele Grüße
Manny
Hi Manfrad
Ist es denn damit unmöglich den Ort scharf zu messen? -
Nein, es ist möglich, du kannst Licht durch ein beliebig kleines Loch schicken. Damit ist der Ort beliebig genau festgelegt.
Wenn ich den Ort scharf messe, dann müsste die Wellenfunktion
ja eine Dirac-Funktion sein - ist dieses eine gültige
Wellenfunktion für ein Teilchen, oder ist soetwas überhaupt
nicht erlaubt?
Dirac-Funktion - das ist etwas zu hoch für mich - fest liegt jedoch, dass das Photon nach Durchqueren des Loches in (fast) beliebige Richtung weiterfliegt (Beugung). Von der Kurve her ähnelt die Verteilung schon dem Bild in http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution.
Resultat: wenn ich den Ort festlegt, ändere ich den Impuls.
Hilft das? Gruß, Zoelomat
Hallo!
Wenn ich den Ort scharf messe, dann müsste die Wellenfunktion
ja eine Dirac-Funktion sein - ist dieses eine gültige
Wellenfunktion für ein Teilchen, oder ist soetwas überhaupt
nicht erlaubt?
In der Theorie ist das erlaubt und es wird auch gerne als Näherung für ein Teilchen verwendet, dessen Ort man mit beliebiger Genauigkeit kennt. Das erkauft man sich aber mit Problemen im Impulsraum. Die Fourier-Transformierte der Delta-Funktion ist konstant. Wenn man sie normiert, bedeutet das, dass jeder Impuls für das Teilchen gleichwahrscheinlich und zwar mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte von Null auftritt.
Ich finde das übrigens immer in der Zeit-Energie-Darstellung anschaulicher als in der Ort-Impuls-Darstellung: Ein Photon entsteht durch Emission, wenn ein Elektron von einem energetisch hohen Niveau auf ein tieferes Niveau fällt. Ein solcher Übergang hat typischerweise eine Lebensdauer von 10^-10 s. Daraus kann man über die Heisenbergsche Unschärferelation eine Energieunschärfe ausrechnen, die der natürlichen Linienbreite entspricht. Wenn man sich das Photon als Lichtwelle vorstellt, dann hat der Wellenzug eine Länge von 3 cm (= Zeitunschärfe * Lichtgeschwindigkeit). Bei λ = 600nm sind das 50.000 Wellenlängen. Wäre die Linie exakt spektral rein (monochromatisch), dann bestünde der Wellenzug aus unendlich vielen Wellenlängen, folglich hätte der Übergang dann auch eine unendliche Lebensdauer.
Quantenmechanisch sind 10^-10s relativ nahe an der Unendlichkeit 
Michael
„beliebig genau“ und „exakt“ sind in diesem Zusammenhang zwei Paar Stiefel. (Ein Loch mit Durchmesser 0 lässt gar kein Photon mehr durch).
Michael
Hi,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!!!
Ist es denn damit unmöglich den Ort scharf zu messen? -
Nein, es ist möglich, du kannst Licht durch ein beliebig
kleines Loch schicken. Damit ist der Ort beliebig genau
festgelegt.
Wenn ich den Ort scharf messe, dann müsste die Wellenfunktion
ja eine Dirac-Funktion sein - ist dieses eine gültige
Wellenfunktion für ein Teilchen, oder ist soetwas überhaupt
nicht erlaubt?
Dirac-Funktion - das ist etwas zu hoch für mich - fest liegt
jedoch, dass das Photon nach Durchqueren des Loches in (fast)
beliebige Richtung weiterfliegt (Beugung). Von der Kurve her
ähnelt die Verteilung schon dem Bild in
http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution.
Resultat: wenn ich den Ort festlegt, ändere ich den Impuls.
Ja, damit habe ich ehrlich gesagt etwas Probleme: Ich kann zwar das Loch immer kleiner machen - und dadurch wird die Beugung immer größer (genauso beim Elektron: je genauer der Ort ist, desto ungenauer ist der Impuls)
Aber das glaube ich kann man doch immer nur für konkrete Werte machen oder nicht? In dem Fall, in dem keine Ortsunschärfe mehr herrscht muss deltaP = unendlich sein (oder die Beugung „unendlich“) - für endliche Werte glaube ich das alles - aber bei dem Übergang zu Unendlich habe ich Probleme.
Ich habe diese Art Aufgabe nämlich in einer alten Klausursammlung gefunden: „Ist es möglich den Ort eines Teilchens ohne Unschärfe zu bestimmen?“. In der Lösung (von einem anderen Studenten) wurde einfach gesagt das die Dirac-Funktion keine gültige Wellenfunktion ist - und daher ist es unmöglich. Er hat aber auch zu anderen Aufgaben Lösungen geschrieben, die ich offensichtlich teilweise für falsch halte. Daher bin ich mir nicht sicher ob ich ihm diesmal vertrauen kann (zumal ich den Studenten ja nicht kenne - die Aufgaben werden ja nur von der Fachschaft auf Nachfrage herausgegeben).
Viele Grüße
Manny
Hallo, auch vielen Dank für die Antwort!!
Wenn ich den Ort scharf messe, dann müsste die Wellenfunktion
ja eine Dirac-Funktion sein - ist dieses eine gültige
Wellenfunktion für ein Teilchen, oder ist soetwas überhaupt
nicht erlaubt?
In der Theorie ist das erlaubt und es wird auch gerne als
Näherung für ein Teilchen verwendet, dessen Ort man mit
beliebiger Genauigkeit kennt. Das erkauft man sich aber mit
Problemen im Impulsraum. Die Fourier-Transformierte der
Delta-Funktion ist konstant. Wenn man sie normiert, bedeutet
das, dass jeder Impuls für das Teilchen gleichwahrscheinlich
und zwar mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte von Null
auftritt.
Da es sich aber um eine Näherung handelt muss die Frage ob der Ort eines Teilchens ohne Unschärfe bestimmt werden kann mit „nein“ beantwortet werden, oder?
Wäre die Linie exakt
spektral rein (monochromatisch), dann bestünde der Wellenzug
aus unendlich vielen Wellenlängen, folglich hätte der Übergang
dann auch eine unendliche Lebensdauer.
Sorry, ich muss zugeben, dass ich das nicht ganz verstanden habe.
Die 50000 kamen ja dadurch zustande, das geguckt wurde, wie oft mein Wellenzug in die 3cm reinpasst. Warum brauche ich bei monochromatischem Licht nun unendlich viele Wellenlängen?
Vielen Dank und viele Grüße
Manny
Hi Michael,
In der Theorie ist das erlaubt und es wird auch gerne als
Näherung für ein Teilchen verwendet, dessen Ort man mit
beliebiger Genauigkeit kennt.
Ätsch, du hast auch beliebig gesagt
Schurz beiseite, hatte ja schon geahnt, das mir dieses Wort einen Widerspruch einbringen wurde.
Gruß, Zoelomat
Hallo!
Die 50000 kamen ja dadurch zustande, das geguckt wurde, wie
oft mein Wellenzug in die 3cm reinpasst. Warum brauche ich bei
monochromatischem Licht nun unendlich viele Wellenlängen?
Wie gut kennst Du Dich mit Fourier-Trafo aus?
Die Fourier-Trafo ist in der Mathematik das, was eine Spektralzerlegung in der Physik ist, d. h. sie misst, wie stark die verschiedenen Frequenzen in einer Funktion enthalten sind. In einer reinen Sinus-Funktion ist nur eine einzige Frequenz enthalten, aber eine Sinusfunktion ist unendlich ausgedehnt. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass eine Welle, deren Wellenzug endlich ist, auch andere Frequenzen enthalten sein müssen, und zwar umso mehr, je kürzer der Wellenzug ist. Wenn ich schließlich alle Wellenlängen zulasse, dann beträgt die Länge des Wellenzuges praktisch 0 (Das ist übrigens genau der Fall, nach dem Du gefragt hast).
Darin steckt also schon das ganze Geheimnis der Heisenbergschen Unschärfe Relation: Ort und Impuls bzw. Zeit und Energie verhalten sich zueinander wie die Wellenfunktion eines Teilchens zu ihrer Fourier-Transformierten.
Michael
Hallo!
Ätsch, du hast auch beliebig gesagt
Ja, aber in meinem Satz stand das Wort „Näherung“. Im Übrigen war mein Kommentar bei Dir nicht direkt als Widerspruch gemeint, sondern als Präzisierung.
Michael
Hallo, nochmals vielen Dank für die Antwort!!
Die 50000 kamen ja dadurch zustande, das geguckt wurde, wie
oft mein Wellenzug in die 3cm reinpasst. Warum brauche ich bei
monochromatischem Licht nun unendlich viele Wellenlängen?
Wie gut kennst Du Dich mit Fourier-Trafo aus?
Etwas - ich weiß das die Ortswellenfunktion fouriertransformiert die „Impulswellenfunktion“ ergibt. Da eine Stauchung in der Ortswellenfunktion über die FT zur Streckung wird: Da(f)(w) = 1/|a|*f(w/a), wird die Impulsunschärfe umso größer je mehr ich meine Ortswellenfunktion zusammenstauche.
Ok, wenn man es sich so vorstellt brauche ich umso mehr Frequenzen, je kürzer meine Ausgangsfunktion ist. Aber wofür waren jetzt die 50.000 wichtig?
Wenn ich schließlich alle Wellenlängen zulasse, dann beträgt
die Länge des Wellenzuges praktisch 0 (Das ist übrigens genau
der Fall, nach dem Du gefragt hast).
D.h. die Zeit wäre sehr scharf (dT->0) dafür aber die Energie total unscharf (ich hab ja alle möglichen Frequenzen und damit alle möglichen Energien, richtig?
Darin steckt also schon das ganze Geheimnis der
Heisenbergschen Unschärfe Relation: Ort und Impuls bzw. Zeit
und Energie verhalten sich zueinander wie die Wellenfunktion
eines Teilchens zu ihrer Fourier-Transformierten.
Um es dann nochmal auf den Punkt zu bringen:
Würdest du in der Klausur auf die Frage „Ist es möglich den Ort eines Teilchens ohne Unschärfe zu bestimmen?“ mit ja oder nein antworten?
Mathematisch hab ich jetzt gesehen was dann passieren muss: die Ortswellenfunktion wird zu einer Diracfunktion und der Impuls hat die konstante Funktion 1 - d.h. alle Impulse sind gleich wahrscheinlich. Aber wie du in dem anderen Beitrag gesagt hast, wird die Dirac-Funktion nur als Näherung verwendet - was ist dann die Antwort auf die Aufgabenstellung?
Vielen Dank und viele Grüße
Andreas
Würdest du in der Klausur auf die Frage „Ist es möglich den Ort eines Teilchens ohne Unschärfe zu bestimmen?“ mit ja oder nein antworten?
Hallo Manfred, Feynman und Penrose sagen nein. Ich weiß aber nicht mehr ob die Messbarkeit an der Planck-Länge und -Zeit endet oder schon weit oberhalb. Gruß, eck.