Hallo,
anschaulich kann ich mir gut vorstellen, dass die
Grenzwertsätze gelten, wie hier beschrieben:
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%2…
Wie sieht aber die exakte mathematische Beweisführung aus um
zu begründen, dass sie auch wirklich gelten?
Kann mir jemand eine Seite nennen, auf der das steht (ich
selbst finde leider keine).
223 ff.
Aber womöglich hilft dies nicht weiter.
Wichtig ist zu wissen, auf welchem Niveau dies zu erklären sei. Angenommen man ist in der 11. und 12. Klasse und interessiert sich für solche Sachen und will dabei über den Tellerrand schauen, dann würde ich mir schon mal via Ebay ein X-bändiges Standardwerk über Höhere Mathematik organisieren (v.Mangold-Knopp (4Bde) oder Smirnov (5Bd.)) - Dort sind diese Dinge beschrieben.
[Ich nehme es an, ich habe es nicht überprüft. Das Thema wird wahrscheinlich auf 20-30 Seiten als Einführung in die Einführung behandelt und wird auf den folgenden tausenden von Seiten meist nur implizit genutzt.]
[Bei mir persönlich ist der Kauf via Ebay oft günstiger als die Fahrtkosten zur Bibliothek …]
Um diese Dinge zu erklären, muss man weit ausholen (Metrik, Topologie, Funktionen). Doch grob gesagt, geht der Beweis für f(x) + g(x) (Summe) wie folgt:
y0 = lim f(x) = lim y, wenn x0 = lim x
bedeutet, dass das Abbild y von x in einer Umgebung Vy = {|y - y0| 0} mit U = {|x - x0| 0}) ist Untermenge von V.
y soll in der Umgebung Vy = {|y - y0| z = {|z - z0| 0 + z0) = (y - y0) + (z - z0)
|(y + z) - (y0 + z0)| 0| + |z - z0| = ε/2 + ε/2 = ε
=> y + z liegt in einer ε-Umgebung um y0 + z0, die wir V nennen.
Jetzt ist Uy eine Umgebung {|x - x0| 0} mit f(Uy) ist Untermenge von Vy und Uz eine Umgebung {|x - x0| 0} eine mit g(Uz) ist Untermenge von Vz. U ist die Schnittmenge von Uy und Uz.
Dann ist, wie mittels der Dreiecksungleichung gezeigt wurde, y + z = f(x) + g(x) Element von V, die Funktion (f + g) bildet demnach U als eine Untermenge von V ab:
lim (y + z) = y0 + z0
Aber ich glaube nicht, dass dies der richtige Ort für solch fundamentale Angelegenheiten ist. Unbedingt Einführungen in die höhere Mathematik lesen …
[Da Mathe bei mir kein Kernfach ist (Physiker scheren sich nämlich nicht so um exakte Dinge), lasse ich mich gerne von den Forums-Kollegen kommentieren und korrigieren.]
Auf diesen Rechenregeln basiert ja auch die Begründung der
Integralrechnung.
Kann mir jemand noch den Weg schildern, mit dem die
Additivität des Integrals nachgewiesen wird? Ich komm
irgendwie nicht drauf.
Danke
Tim
