Herleitung der Krümmungsformel

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi!

Kennt jemand eine Internetseite, auf der die Herleitung der Krümmungsformel vernünftig und verständlich erklärt wird … oder kann das jemand hier?

Es geht um eine beliebige Kurve, die per Funktion erzeugt wird, und wo dann in einem bestimmten Punkt P der Kurve eine Kreis angesetzt wird (der Punkt P ist somit sowohl Teil der Kurve wie auch Teil des Kreisrandes).

Das Ganze läuft wohl über die Berechnungen von Kurvenfunktion, Kreis, Tangente und Normale. Am Ende soll dann die Krümmungsformel herauskommen:

k(x) = [f’’(x)] / [[f’(x)]^2 + 1]^1,5

(Erläuterung: Das ^ steht für „hoch“)

Was ich bisher im Internet gefunden habe, ist für mich entweder kaum verständlich (Universitäts-Mathematik) oder oder ausgesprochen sprunghaft. Etwa das hier:

Gleichung für den Kreis: r^2 = (x - m)^2 + (y - n)^2

  1. Ableitung = 2(x - m) + 2(y - n)
    das verstehe ich noch
  2. Ableitung = 1 + y’^2 + (y - n)
    da hört es bei mir auf

(gefunden auf der Webseite von Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Uni Lüneburg)

Hilfe!!!

Grüße
Heinrich

#2

Hallo Heinrich,

Kennt jemand eine Internetseite, auf der die Herleitung der
Krümmungsformel vernünftig und verständlich erklärt wird …
oder kann das jemand hier?
Es geht um eine beliebige Kurve, die per Funktion erzeugt
wird, und wo dann in einem bestimmten Punkt P der Kurve eine
Kreis angesetzt wird (der Punkt P ist somit sowohl Teil der
Kurve wie auch Teil des Kreisrandes).

eigentlich ist dies Teil der Infinitesimal-Rechnung, also
einen (unendlich) kleinen Kurvenabschnitt zu betrachten welcher
mit drei Punkten mit eben kleinem Abstand an der betrachteten Stelle
besetzt ist.
Durch diese drei Punkte kann ich einen Kreisbogen legen und eine
Tangente daran bestimmen mit Neigung,Normale.

Das Ganze läuft wohl über die Berechnungen von Kurvenfunktion,
Kreis, Tangente und Normale. Am Ende soll dann die
Krümmungsformel herauskommen:

Genau.
Das ganze nennt man Differenziation.(Betrachtung unendlich kleiner
Differenzen)
Dabei werden nach festgelegtem (abgleitetem) Schema eben direkt
aus einer Kurve eine „abgeleitete“ Kurve ermittelt welche die
Neigungswinkel (genauer des Tangens des Winkels)an jedem Punkt der
vorigen Kurve beschreibt.
Diese Differenziation
http://de.wikipedia.org/wiki/Differenziation
ist nicht für alle Kurven explizit möglich.
Trotzdem gibt es dann verschiedene Hilfsmethoden um zu sehr genauen
(aber doch nur angenäherten) Ergebnissen zu kommen.
Siehe auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Gruß VIKTOR

#3

Hi!

Hallo !

Gleichung für den Kreis: r^2 = (x - m)^2 + (y - n)^2

  1. Ableitung = 2(x - m) + 2(y - n)

Nein, was da steht ist 0=2(x-m)+(y-n)y’
Vergiss nicht, dass du nach x ableitest.
r2 gibt abgeleitet 0, denn r ist bei einem Kreis konstant.
(x-m)2 gibt abgeleitet 2(x-m)
(y-m)2 was ja so viel heißt wie (y(x)-n)2 leitest du nach der Kettenregel ab, also äußere mal innere Ableitung, das gibt 2(y-n)y’

  1. Ableitung = 1 + y’^2 + (y - n)

Nein, nach dem gleichen Prinzip wie bei der ersten Ableitung (allerdings mit Produkt- und Kettenregel) erhälst du hier
0=1+(y’)2+(y-n)y’’

Der Rest ist dann Einsetzen in die vier vorher aufgestellten Bedingungen.

Gruß

hendrik