Hallo Leopold,
wie genau
man von dem LGS ac=0 und bc=0 auf die üblichen Koordinaten des
Normalenvektors kommt.
gar nicht, denn die Eigenschaft " a x b steht senkrecht auf a und senkrecht auf b" ist nur eine Eigenschaft des Kreuzprodukts. Damit schaffst Du es gerade bis dorthin, wie Du es schon gerechnet hast. Um weiterzukommen, brauchst Du mehr Information, und das ist natürlich die, die in den anderen geforderten Eigenschaften des Kreuzprodukts steckt (im folgenden unterstrichen).
Um herauszufinden, wie a x b"in Komponenten" lautet, drückst Du zunächst die Vektoren a und b als Linearkombinationen der Einheitsvektoren aus…
a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3
…und schreibst damit
a x b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) x (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 )
Da das Kreuzprodukt assoziativ ist, darfst Du ausmultiplizieren:
a1 b1 ( e1 x e1 ) + a1 b2 ( e1 x e2 ) + a1 b3 ( e1 x e3 )
a2 b1 ( e2 x e1 ) + a2 b2 ( e2 x e2 ) + a2 b3 ( e2 x e3 )
a3 b1 ( e3 x e1 ) + a3 b2 ( e3 x e2 ) + a3 b3 ( e3 x e3 )
Da das Kreuzprodukt aus zwei identischen Vektoren verschwinden soll ( a x a = 0 für alle a ), fallen drei Summanden weg:
a1 b2 ( e1 x e2 ) + a1 b3 ( e1 x e3 )
a2 b1 ( e2 x e1 ) + a2 b3 ( e2 x e3 )
a3 b1 ( e3 x e1 ) + a3 b2 ( e3 x e2 )
Aufgrund der Antikommutativität des Kreuzprodukts ( b x a = – a x b für alle a , b ), kannst Du die drei „verkehrten“ Kreuzprodukte (= die, bei denen der Index des ersten Einheitsvektors größer ist als der des zweiten) „umdrehen“ und bekommst
a1 b2 ( e1 x e2 ) + a1 b3 ( e1 x e3 )
– a2 b1 ( e1 x e2 ) + a2 b3 ( e2 x e3 )
– a3 b1 ( e1 x e3 ) – a3 b2 ( e2 x e3 )
=
(a1 b2 – a2 b1) ( e1 x e2 )
- (a2 b3 – a3 b2) ( e2 x e3 )
- (a1 b3 – a3 b1) ( e1 x e3 )
Nun brauchst Du als letztes noch die Eigenschaft von „x“, daß das Kreuzprodukt zweier Einheitsvektoren plus/minus den dritten ergeben soll:
e1 x e2 = ± e3
e2 x e3 = ± e1
e1 x e3 = ± e2
Die drei „±“ suggerieren, daß es 23 = 8 Wahlmöglichkeiten gibt, aber in Wirklichkeit sind es nur zwei (bitte selbst überlegen, daß + + +, + – –, – + – und – – + durch Drehung ineinander überführbar sind, ebenso – – –, + – –, – + – und – – +). Bei den verbleibenden beiden „echten“ Wahlmöglichkeiten spricht man von einem „Linkssystem“ bzw. „Rechtssystem“. Der Operator „x“ ist konventionsgemäß so definiert, daß die Vektoren a , b und a x b ein _Rechts_system bilden, d. h. wenn Du in Gedanken a zu b hin drehst und mit der rechten Hand (Daumen nach oben, restliche Finger gekrümmt) diesen Dreh anzeigst, dann zeigt der Daumen in Richtung von a x b.
Aufgrund dessen hat man festgesetzt, daß „x“ wie folgt operieren soll:
e1 x e2 = e3
e2 x e3 = e1
e3 x e1 = e2
Das ist schön symmetrisch, weil in jeder Zeile „1 2 3“ in der „richtigen Reihenfolge“ stehen (wenn Du beim Abzählen hinten angekommen bist, nach vorne zurückspringen). Die drei „richtigen Reihenfolgen“ 1 2 3, 2 3 1 und 3 1 2 nennt man auch „zyklisch“, die anderen drei (1 3 2, 2 1 3 und 3 2 1) „antizyklisch“.
Damit sind wir fertig:
a x b
=
(a1 b2 – a2 b1) e3
- (a2 b3 – a3 b2) e1
- (a1 b3 – a3 b1) (– e2 )
=
(a2 b3 – a3 b2) e1
- (a3 b1 – a1 b3) e2
- (a1 b2 – a2 b1) e3
Das war’s, und wie Du siehst gingen in die Rechnung auch tatsächlich alle fundamentalen Eigenschaften des Kreuzprodukts ein.
Mit freundlichem Gruß
Martin