Hallo,
ich muss für einen Vortrag in Mathe erklären, warum das Verhältnis eines Kreises an einem Quadrat pi/4 ist. Das Quadrat soll den Kreis genau umschließen.
Ich habe dazu die Webseite http://www.uni-leipzig.de/~sma/pi_einfuehrung/monte_… gefunden, werde aber nicht sonderlich schlau daraus (bin 8. Klasse). Ich freue mich auf Antworten.
Viele Grüße,
Lorenz
Hallo Lorenz,
ich versuche es nochmal in eigenen Worten, ab und zu hilft es, es nochmal in einer anderen Formulierung zu hören. Wenn nicht, dann sag bitte Bescheid, an welcher Stelle ich unklar war.
Ich fange mal mit einem einfacheren Beispiel an (mal es dir mal hin): Du hast ein Quadrat, das teilst du in zwei gleich große Hälften.
Jetzt erzeugst du mit einem Zufallszahlengenerator Punkte im Quadrat und zwar so, dass sie gleichverteilt sind. Das heißt, dass es keinen Fleck gibt, an dem nach einer sehr langen Zeit, deutlich mehr Punkte sind. Das machst du mit sehr vielen Punkten. Jetzt kannst du dir überlegen: Wie viele der Punkte sind in der linken Hälfte des Quadrats?
Richtig: die Hälfte aller Punkte.
Jetzt denkst du andersherum: Du weißt, dass in einem beliebigen Stück in deinem Quadrat die Hälfte aller Punkte liegen. Wie groß ist das Stück?
Die Hälfte deines ursprünglichen Quadrats.
Jetzt das kompliziertere Beispiel: Du hast dein Quadrat im Koordinatensystem (meinetwegen Fläche 1 wie auf deiner Website) und einen Viertelkreis (mit Radius 1). Jetzt machst du wieder das gleiche: Du erzeugst Punkte über dein ganzes Quadrat verteilt und zählst dann, wieviele sich innerhalb deines Kreises befinden. Mathematisch drückst du das so aus:
x²+y²>1 => außerhalb
x²+y² innerhalb
Das Verhältnis gibt dir
Punkte innerhalb Fläche des Viertelkreises \pi²/4
---------------- = --------------------------- = ---------
Punkte gesamt Gesamtfläche (Quadrat) 1
Gruß
Kati
Nachtrag
Hallo,
meine Erklärung erklärt die Monte-Carlo-Methode auf der verlinkten Website, ob Monte-Carlo aber das ist, was du für deine Aufgabe machen sollst, kann ich nicht beurteilen.
Um nur zu zeigen, dass das Verhältnis der beiden pi/4 ist, würde es meiner Meinung nach reichen, einfach die Flächen auszurechnen:
Quadrat mit Kantenlänge l: A= l²
Kreis mit Radius r: A= pi*r²
Wenn du einen Kreis in ein Quadrat einbeschreibst: r= l/2 (aufmalen)
Dann kannst du dir den Rest selbst ausrechnen:
A_Kreis
-------------- = ?
A_Quadrat
Setz es mal ein…
Gruß
Kati
> Punkte innerhalb Fläche des Viertelkreises \pi²/4
> ---------------- = --------------------------- = ---------
> Punkte gesamt Gesamtfläche (Quadrat) 1
Das ² beim pi könnte Irritationen verursachen, da es falsch ist. Richtig:
Punkte innerhalb Fläche des Viertelkreises pi/4
---------------- = --------------------------- = -------
Punkte gesamt Gesamtfläche (Quadrat) 1
Und doch Monte-Carlo-Methode
meine Erklärung erklärt die Monte-Carlo-Methode auf der
verlinkten Website, ob Monte-Carlo aber das ist, was du für
deine Aufgabe machen sollst, kann ich nicht beurteilen.
Angenommen es ginge doch um Monte-Carlo (was zugegebener Maßen sehr unwahrscheinlich ist für die 8. Klasse - was will man da mit hochdimensionalen Intgralen, a-priori Wahrscheinlichkeiten, Maßtheorie, Markovschen Prozessen und stochastischen Matrizen - aber vielleicht hat ja der Klassenlehrer seine Examensarbeit darüber gemacht …)
also, angenommen es geht um Monte-Carlo, dann ist das Beispiel in
http://www.uni-leipzig.de/~sma/pi_einfuehrung/monte_…
schlecht, da viel zu einfach.
Es gibt nämlich keinen Grund das Verhältnis mittels dieser Methode auszurechnen. Wie gesagt, berechnet man in diesem Fall einfach die Flächen und damit das Verhältnis analytisch, oder man zerlegt wie in der Grundschule 4. Klasse gelernt die Flächen in immer kleinere Quadrätchen und zählt die Quadrätchen.
Die Monte-Carlo-Methode ist nämlich gar nicht für dieses Beispiel angedacht. Das Beispiel ist lediglich dazu da zu zeigen, dass die Monte-Carlo-Methode für dieses einfache Beispiel zu keinem falschen Ergebnis führt.
(Mathematisch sagt dies aber überhaupt nichts aus, wie man weiß. Denn 1 x 1 ist ja auch nicht 2 nur weil 2 x 2 = 2 + 2 = 4 ist, oder? Eigentlich soll’s ja darum gehen, pi zu bestimmen, aber das ist doch lächerlich.)
Die Verständnisschwierigkeiten könnten deshalb vorliegen, weil das Beispiel nicht angebracht ist.
Wenn man in der 8. Klasse auf Mont-Carlo-Methode stößt, soll man auch erfahren warum und wofür man dies einsetzt:
Die Monte-Carlo-Methode wird dort eingesetzt, wo man mit den herkömmlichen numerischen Methoden nicht weiterkommt - bei der Berechnung von hoch-dimensionalen Ausdrücken, wo man mit traditionellen numerischen Methoden bei 100000 mal 100000 mal 100000 mal 100000 mal … Rechenschritten selbst mit neuesten Supercomputern ewig rechnen müsste.
Man wirft einfach eine (hoch-dimensionale) Zufallszahl schaut ob sie im hoch-dimensionale Volumen landet (=Töpfchen) oder nicht (=Kröpfchen) und, je nach Gutmütigkeit des Volumens, hat man nach ein paar Millionen Schritten einen Schätzwert für das Volumen, der vielleicht 5% genau ist. (Die traditionelle numerische Methode führt dagegen zu einer hohen Rechnung vom Rechenzentrum ohne Resultat und dem Kommentar: No time left 4 go.)
Die Methode aus Leipzig erklärt übrigens die Gurke statt der Banane, nur weil diese auch krumm ist.
Hallo,
Das ² beim pi könnte Irritationen verursachen, da es falsch
ist. Richtig:
Vielen Dank, das kommt davon, wenn man erst etwas anderes schreibt und dann nicht vollständig weglöscht 
Gruß
Kati