Hallo!
Ich möchte die Formel für das Restglied von Lagrange (Satz von Taylor) herleiten, allerdings nicht durch Induktion beweisen, sondern eben herleiten:
R\_n(x;x\_0)= \frac{(x-x\_0)^(n+1)}{(n+1)!} \* f^(n+1)(\xi) mit \xi element {(x\_0;x)}
Hat da jemand eine Lösung, gute Ansatzideen oder eine Literaturempfehlung??
Vielen Dank
Hi,
betrachte das Taylorpolynom, allerdings den Entwicklungspunkt als Variable und den auszuwertenden Punkt als Konstante. Dieses hat dann bei Abstand Null einen Berührpunkt hoher Ordnung, der dann mit dem verallgemeinerten Mittelwertsatz das Lagrange-Restglied und einige andere ergibt. Sollte eigentlich in vielen Analysisbüchern zu finden sein.
Gruß Lutz
Hey,
T_n(x;x_0)=\sum_{i=0}^{n} \frac{{f^{(i)}}(x_0)}{i!} (x-x_0)^i
Also Variable x_0 und Konstante x.
Dieses hat dann bei Abstand Null einen Berührpunkt hoher
Ordnung, der dann mit dem verallgemeinerten Mittelwertsatz das
Lagrange-Restglied und einige andere ergibt
Da verstehe ich nicht so genau wie du das meinst 
v.a. den Bezug zum Mittelwertsatz find ich nicht ganz, der definiert doch die Ableitung bzw. geometrisch gesehen, dass Tangente und Sekante parallel sind…
Bedeutet Abstand Null dass x_0 = x, also:
\sum_{i=0}^{n} \frac{{f^{(i)}}(x)}{i!}
Weißt du zufällig ein Analysisbuch wos drinsteht? Finde immer nur den Induktionsbeweis…
Danke
Hallo,
bestimme jetzt die Ableitung nach x0, da sollte sich jede Menge Terme wegheben.
Das Buch, wo ich diese Herleitung mal gesehen habe, ist ein ganz altes Buch „Mathematik für Ingenieure“, taugt also erstmal nicht als Quelle. Heuser ist kryptisch zu diesem Thema, Walter hat zwar einen Mittelwertsatzbeweis, aber ohne den Trick des Vertauschens der Variablen.
Gruß Lutz
Hi,
bestimme jetzt die Ableitung nach x0, da sollte sich jede
Menge Terme wegheben.
Was genau nach x0 ableiten?
Entweder reicht mein Schulwissen (13.Klasse Gymn.) nicht aus oder ich verstehs einfach nicht…sorry!
und ich glaube diesen Term
\sum_{i=0}^{n} \frac{{f^{(i)}}(x_0)}{i!}
hast du mit Abstand Null nicht gemeint oder??
Wenn x=x0 wäre, dann wäre das Taylorpolynom aufgrund des Faktors (x-x0)^i immer 0, ergibt also wenig Sinn in meinen Augen…
LG
Hi,
Du hast das Taylorpolynom nicht vollständig aufgeschrieben.
Definiere die Taylorentwicklung für den Punkt a mit variablem Entwicklungspunkt x
\begin{align}
\phi(x)&=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(a-x)^k
\intertext{die Ableitung ist}
\phi’(x)&=f’(x)+\sum_{k=1}^{n}\left[
\frac{f^{(k+1)}(x)}{k!}(a-x)^k
-\frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!}(a-x)^{k-1}
\right]\
&=\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(a-x)^n,.
\intertext{Das in den erw. Mittelwertsatz eingesetzt:}
\frac{\phi(x)-\phi(a)}{(a-x)^m-(a-a)^m}&=
\frac{\phi’(z)}{-m(a-z)^{m-1}},
\end{align}
z ist ein Punkt zwischen x und a. Nach erstem Umstellen ergibt sich
\phi(x)-f(a)=-(a-x)^m\cdot \frac{f^{(n+1)}(z)}{m\cdot n!}(a-z)^{n-m+1},.
Das muss jetzt durch Variablenumbenennung noch rückinterpretiert werden, ersetze erst x durch x_0 und dann a durch x, oder ersetze direkt a durch x+h.
In letzterer Variante also
f(x+h)=\phi(x)+h^m\cdot \frac{f^{(n+1)}(x+\theta,h)}{m\cdot n!}((1-\theta)h)^{n-m+1},
was das Schlömilch-Restglied ist, und für m=n+1 zum Lagrange-Restglied spezialisiert.
Gruß Lutz
AH! jetzt hats kurz klick gemacht, hatte das mit dem x als variablen Entwpunkt nicht gnaz gerafft
vielen Dank für deine Hilfe!