Hallo
Ich habe eine Frage zur Herleitung des Runge Kutta Verfahrens 2-ter Ordnung (Midpoint).
In einem meiner Bücher steht folgendes:
Es soll ja die DGL x’(t) = f(x(t), t) gelöst werden.
Er sagt dann das x’’(t) = diff(f,x) + diff(f,y) * f sei (Kettenregel).
Kann mit einer einen Tipp geben, wie man da drauf kommt? Falls f nicht von der Zeit abhängen würde, würde ich es verstehen. Ansonsten würde ich mit dem Gradienten rechnen…
Gruss & Danke,
dev_null
Hallo dev_null,
du musst dir t als 1. und x(t) als 2. bis (n+1) te Komponente einer Abbildung vorstellen. Sei also
y(t) = transpose( (t,x(t)))
Dann ist y’(t)=transpose((1,x’(t))).
Wenn du dann F(y(t)):=f(t,x(t)) setzt ist F „unabhängig“ von der Zeit und du erhälst
x’(t)=(d/dt) F(y(t))=(DF)(y(t))y’(t)=
=(d1 F(y(t)), … ,d(n+1) F(y(t)))*y’(t)=
=(d1 F(y(t))*1+(d2 F(y(t)), … d(n+1)F(y(t)))* x(t) = =f’(t,x(t))+diff(f(t,x(t))*x’(t) =
= f’(t,x(t)) + diff(f(t,x(t))*f(t,x(t))= „f’+diff(f)*f“
Viel Glück bei der Prüfung 
In einem meiner Bücher steht folgendes:
Es soll ja die DGL x’(t) = f(x(t), t) gelöst werden.
Er sagt dann das x’’(t) = diff(f,x) + diff(f,y) * f sei
(Kettenregel).
Hallo,
mir ist nicht ganz klar was du mit diff meinst. Vielleicht hilft es wenn man das ganze mal ordentlich aufschreibt.
x’(t)=f(x(t),t)
x’’(t)=\frac{d}{dt}f(x(t),t)
=\frac{\partial}{\partial x}f(x(t),t)\frac{d}{dt}x(t)+\frac{\partial}{\partial t}f(x(t),t)
=\frac{\partial}{\partial x}f(x(t),t)x’(t)+\frac{\partial}{\partial t}f(x(t),t)
=\frac{\partial}{\partial x}f(x(t),t)f(x(t),t)+\frac{\partial}{\partial t}f(x(t),t)
Häufig wird dafür folgende Schreibweise verwendet.
x’’(t)=f_x(x(t),t)f(x(t),t)+f_t(x(t),t)
Ich vermute irgendwo vorher wurde bei euch f als Funktion in der Art f(y(x),x) definiert und diff(f,x) ist die partielle Ableitung von f nach x und diff(f,y) entsprechend nach y. Diese Formulierung ist vor allem dann ungeschickt wenn man dann x als Bezeichnung für das nimmmt was vorher y war, so wie es bei euch der Fall zu sein scheint. Falls es noch unkklar ist, stell dir die Differentialgleichung y’(x)=f(y(x),x) vor, die ja quasi das gleiche ist wie die vorher nur mit anderen Buchstaben. Dann liefert die Kettenregel
y’’(x)=f_y(y(x),x)f(y(x),x)+f_x(y(x),x)
und das wird dann zu
y’’(x)=diff(f,y)f+diff(f,x)
Grüße
hendrik
Danke für die Antwort (und die Lektion in LaTex).
Den Punkt, den ich nicht verstanden habe war \frac{d}{dt}f(x(t),t)=\frac{\partial}{\partial x}f(x(t),t)\frac{d}{dt}x(t)+\frac{\partial}{\partial t}f(x(t),t).
Meine Mathe-Kenntnisse sind ein wenig eingerostet. Ich bin nun aber über http://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerte_Ketten… gestolpert. Das hat mir geholfen.
(Von wegen Prüfung; mein Studium ist 13 Jahre her…)
Gruss & Danke,
dev_null