Herleitung: Satz von Vieta

Wissenschaft Physik
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Hi… ich mal wieder,

ich verstehe einen Schritt bei der Herleitung dieses Satzes nicht. Es geht los mit:

  1. x² + px + q = 0

  2. das ist identisch mit: (x - x1) (x - x2) = 0
    soweit kann ich das „auswendig lernen“ weil verstehen…hm… nicht so einfach. egal. Aber jetzt verstehe ich nicht, wie „man“ auf Schritt 3 kommt:

  3. 2malige Anwendung des Distributivgesetzes: x (x - x2) - x1 (x - x2) = 0

Der Rest ist wieder klar. Am Schluss steht dann: x² - (x1 + x2)x + x1x2 = 0

  • (x1 + x2) = p
    q = x1x2

Könnt ihr mir den Sprung von Schritt 2 nach Schritt 3 erklären? Vielen Dank!!!

Gruß,

Alex

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Hi… ich mal wieder,

ich verstehe einen Schritt bei der Herleitung dieses Satzes
nicht. Es geht los mit:

  1. x² + px + q = 0
  2. das ist identisch mit: (x - x1) (x - x2) = 0

Aber jetzt verstehe ich nicht, wie
„man“ auf Schritt 3 kommt:

  1. 2malige Anwendung des Distributivgesetzes: x (x - x2) - x1
    (x - x2) = 0

Nimm mal den Term bei 2) und multipliziere aus:
(x-x1)(x-x2)=x²-xx2-xx1+x1x2 = 0

Und dann wird x und x1 ausgeklammert:
x²-xx2-xx1+x1x2 = x(x-x2)-x1(x-x2) = 0

Dann steht der Rest da. Den Zwischenschritt kann man sich eigentlich sparen, weil man sofort sieht, dass

x²-xx2-xx1+x1x2 = 0 äquivalent ist zu x²-(x1+x2)x+x1x2 = 0

Mfg Flo

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Hi… ich mal wieder,

Hi, nicht nur Du… *lach*

Es geht los mit:

  1. x² + px + q = 0
  2. das ist identisch mit: (x - x1) (x - x2) = 0

„Identisch mit“ unter der Voraussetzung, dass x1 und x2 die Nullstellen von x² + p x + q sind, also x1² + p x1 + q = 0 und x2² + p x2 + q = 0 gilt.

Wann immer Du ein Polynom vom Grad n hast, dessen Nullstellen x1, x2, x3, …, xn Dir bekannt sind, kannst Du schließlich sofort den Funktionsterm des Polynoms angeben, nämlich mit

(x – x1) · (x – x2) · (x – x3) · … · (x – xn)

Wenn Du dazu etwas in Deinem Mathebuch finden willst, sieh nach unter Kapitel „Polynome“, Abschnitt „Zerlegung in Linearfaktoren“.

  1. 2malige Anwendung des Distributivgesetzes: x (x - x2) - x1 (x - x2) = 0

Laut Distributivgesetz gilt: (a – b) c = a c – b c

Setze a = x, b = x1 und c = (x – x2), dann steht da:

(x – x1) · (x – x2) = x (x – x2) – x1 (x – x2)

Schönes Wochenende
Martin