Hallo,
es sei ein Zufallsexperiment gegeben mit den Zufallsgrößen X und Y.
W_X = x_1, x_2, x_3 und W_Y = y_1, y_2. Zur Not kann man ja die Indizes bis n fortführen.
Das Zufallsgrößen von X und Y seine unabhängig.
Der Erwartungswert ist so definiert: E(X+Y) = (x_1+y_1)*P(x_1 und y_1) + (x_1+y_2)*P(x_1 und y_2) + (x_2+y_1)*P(x_2 und y_1) usw.
Da X und Y unabhängig sind, kann man für P(x_n und y_m)= P(x_n)*P(y_n) schreiben.
Leider bring ich dann die obere Definition nicht auf die gewünschte Form, dass man dann E(X+Y)=E(X)+E(Y) herleiten kann.
Nach dieser Definition müsste doch die Rechenregel E(X+Y)=E(X)+E(Y) nur auf unabhängige Zufallsexperimente übertragbar sein. Aber in meiner Formelsammlung steht keine weitere Bedingung dabei.
Die Summenregel für die Varianz ist nur auf unabhängige Zufallsexperimente anwendbar.
Nehmen wir das selbe Experiment wie oben, dann gilt:
Var(X+Y)= (x_1+y_2-E(X+Y))²*P(x_1 und y_1)+ usw.
Hier gelingt es mir ebenfalls nicht, die Rechenregel Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) mit P(x_n und y_m)= P(x_n)*P(y_n) herzuleiten.
Warum ist dies jetzt nur bei der Summenregel der Varianz unabhängige Zufallsgrößen nötig?
Wenn ich mir die Ansätze mal so anschaue, benutze ich bei beiden Herleitungen, die Eigenschaft P(x_n und y_m)= P(x_n)*P(y_n) und die haben nur unabhängige Zufallsgrößen.
Das führt mich auf den Verdacht, dass man die Summenregel für den Erwartungswert auch für abhängige Größen führen kann.
Vielen Dank für Hilfen und Erläuterungen
Gruß
Tim