Hallo miteinander,
im Zuge meiner Diplomarbeit suche ich nach Eigenfunktionen von folgendem Operator:
L[u]:=\frac{d}{dx}(xu)+\frac{d^2}{d^2x}(u)) = u + x\frac{d}{dx}(u) + \frac{d^2}{d^2x}(u)
Mein Betreuer meinte die sogenannten Hermitefunktionen wären die Eigenfunktionen, also habe ich die Probe gemacht und bei den ersten beiden Hermitefunktionen stimmt es auch dass sie Eigenfunktionen sind, allerdings stimmt es ab der 2. Hermitefunktion (ich zähle ab 0) nicht mehr (wenn ich ich mich nicht verrechnet habe, ich habe aber meine Rechnung zig mal kontrolliert, so dass ich relativ sicher bin keinen Rechenfehler gemacht zu haben).
Ich bin ziemlich verwirrt, weil es wirklich wichtig für meine Arbeit ist, dass die Hermitefunktionen Eigenfunktionen von L sind.
Jetzt meine Frage: Liege ich richtig oder mein Betreuer? Und wenn ich richtig liege: Weiss jmd wie die richtigen Eignfunktionen lauten?
…suche ich nach Eigenfunktionen von folgendem Operator: …
das Paradebeispiel für ein Problem, wo diese DG auftaucht, ist der quantenmechanische harmonische Oszillator, der in praktisch jedem QM-Einführungslehrbuch abgehandelt wird. Riskier mal (wenn möglich) einen Blick in die einschlägige Literatur, vielleicht findest Du eine nützliche Information.
Mein Betreuer meinte die sogenannten Hermitefunktionen wären
die Eigenfunktionen,
Ja, die Hermitepolynome sind die Lösungen dieser DG.
allerdings stimmt es ab der 2. Hermitefunktion (ich zähle ab 0) nicht mehr
Vorschlag: Einfach eine (oder mehrere) der fraglichen Funktionen angeben, dann kann es jemand gegenchecken.
(wenn ich ich mich
nicht verrechnet habe, ich habe aber meine Rechnung zig mal
kontrolliert, so dass ich relativ sicher bin keinen
Rechenfehler gemacht zu haben).
Manchmal ist man einfach blind. In solchen Fällen können CAS wertvolle Dienste leisten.
Hallo miteinander,
im Zuge meiner Diplomarbeit suche ich nach Eigenfunktionen von
folgendem Operator:
L[u]:=\frac{d}{dx}(xu)+\frac{d^2}{d^2x}(u)) = u +
x\frac{d}{dx}(u) + \frac{d^2}{d^2x}(u)
Mein Betreuer meinte die sogenannten Hermitefunktionen wären
die Eigenfunktionen, also habe ich die Probe gemacht und bei
den ersten beiden Hermitefunktionen stimmt es auch dass sie
Eigenfunktionen sind.
Hi Timo !
Wenn du es für die ersten beiden Hermitepolynome schon bewiesen hast, dann müsstest du es doch durch vollständige Induktion leicht für alle anderen beweisen können, und zwar mit den Rekursionsformeln
H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)
\frac{d}{dx}H_n(x)=2nH_{n-1}(x)