Hi,
ich bin gerade am Verzweifeln, weil mein doofes Mathe-Skript die Hesseform so erklärt, daß ich sie nicht verstehe. Kann mir jemand erklären, was die Hesseform ist und wie man sie anwendet?
danke
Steffen
Hallo Steffen,
ich geh mal davon aus, dass Du die Hessesche Normalenform meinst.
Sie ist eine Form, eine Ebene vektoriell darzustellen. Ich weiß jetzt nicht, wieweit Du dich mit Ebenen auskennst, ich hoff aber, dass Du die Punktrichtungsgleichung kennst. Bei der hast Du ja 2 Richtungsvektoren. Nun kannst Du dir einen Vektor vorstellen, der auf diesen beiden Richtungsvektoren senkrecht steht, der Winkel also 90° bzw. der Sinus 0.
Du kannst eine Ebene also auch durch einen Stützvektor und ein Vektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht eindeutig festlegen.
Dieser gesuchte Vektor ist der Normalenvektor. Berechnen tust Du ihn, in dem Du das Skalarprodukt von beiden Richtungsvektoren mit einem Vektor n bildest, dieses muss =0 sein.
Bsp:
2
1* n = 2n1 + n2 +n3 =0
3
4
5*n = 4n1 + 5n2 -2n3 = 0
-2
Du löst nun nach n1,2,3 auf und erhälst den Normalenvektor n.
n*(x- OP)=0 ist die Normalenform, wobei OP ein Stützvektor ist. Wenn Du die Hereitung dafür suchst, frag noch mal, das kann ich dir nicht aus dem Gedächtnis sagen.
Bei der Hesseschen Normalenform beträgt die Länge des Normalenvektors 1 (Normaleneinheitsvektor).
Du teilst also durch die Länge des Vektors und schon hast Du eine Hessesche Normalenform.
Ich hoff’ das reicht dir als Antwort.
Grüße,
Lene
Anwendung?
Hi Steffen,
ich bin’s nochmal.
Was meinst Du mit anwenden?
Wenn Du meinst, wozu Du sie brauchst:
Du kannst mit ihr den Abstand einer Ebene zu einem Punkt berechnen.
Punkt für x einsetzen, n*(x-OP)= d ist der Abstand.
Oder die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen. (Punktgeradenform der einen Ebene in die Hessesche der anderen einsetzen, nach den variablen auflösen)
Du kannst sehr einfach die (lass michnicht lügenstrafen, wie sie heißt) koordinatengleichung (?) aufstellen:
n*(x-OP)= n*x-n*OP = 0
nx+ny+nz= n*OP (
Dieser gesuchte Vektor ist der Normalenvektor. Berechnen tust
Du ihn, in dem Du das Skalarprodukt von beiden
Richtungsvektoren mit einem Vektor n bildest, dieses muss =0
sein.
Berechnest Du nicht den Normalenvektor einer Ebene mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren?
Bsp:
2
1* n = 2n1 + n2 +n3 =0
34
5*n = 4n1 + 5n2 -2n3 = 0
-2Du löst nun nach n1,2,3 auf und erhälst den Normalenvektor n.
Da hast Du ein unterbestimmtes Gleichungssystem (3 Variablen 2 Gleichungen) aber kannst ja dann eine dann 1 setzen. und später dann auf den Einheitsvektor kürzen. (Kreuzprodukt fand ich später aber eleganter)
n*(x- OP)=0 ist die Normalenform, wobei OP ein Stützvektor
ist. Wenn Du die Hereitung dafür suchst, frag noch mal, das
kann ich dir nicht aus dem Gedächtnis sagen.
Wofür hat man das gebraucht?
Meinste, daß mit OP EIN Punkt der Ebene bestimmt wird? Dann kannste auch den Ortsvektor aus der Spannvektoren-Formel nehmen.
Bei der Hesseschen Normalenform beträgt die Länge des
Normalenvektors 1 (Normaleneinheitsvektor).Du teilst also durch die Länge des Vektors und schon hast Du
eine Hessesche Normalenform.
Ist korrekt, meist schreibt man dann aber der Übersichtlichkeit
1/ |v| * v
(v ist der Vektor (denke Dir den Pfeil) und |v| der Betrag desselben)
Ich hoff’ das reicht dir als Antwort.
Grüße,
Lene
Grüßle
mus.
(Abi Mitte der 90ger)
Hi Steffen,
ich bin’s nochmal.
Was meinst Du mit anwenden?
Wenn Du meinst, wozu Du sie brauchst:Du kannst mit ihr den Abstand einer Ebene zu einem Punkt
berechnen.
Punkt für x einsetzen, n*(x-OP)= d ist der Abstand.Oder die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen.
(Punktgeradenform der einen Ebene in die Hessesche der anderen
einsetzen, nach den variablen auflösen)
Ich habe in der Abi-Klausur das Problem gehabt. Wir hatten aber die Schnittgerade IMMER mit Hilfe eines Gaußschen Gleichungssystems gelöst. Kannst aber den Richtungsvektor der Gerade durch das Keuzprodukt beider Normalenvektoren bestimmen (Kontrolle ist immer gut)
Grüßle…
mus.
Hesseform 
mach mich nur fertig *gg*
Hi music,
Berechnest Du nicht den Normalenvektor einer Ebene mit dem
Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren?
Richtungsvektoren=Spannvektoren. Ist eigentlich egal, ob Du das Kreuz- oder das Skalarprodukt nimmst, oder?
Das Problem ist, dass das Kreuzprodukt bei uns nur im Mathe-LK erklärt wird, deswegen kann ich so nicht argumentieren.
Da hast Du ein unterbestimmtes Gleichungssystem (3 Variablen 2
Gleichungen) aber kannst ja dann eine dann 1 setzen.
Stimmt, dass hat ich vergessen zu erwähnen!
n*(x- OP)=0 ist die Normalenform, wobei OP ein Stützvektor
ist. Wenn Du die Hereitung dafür suchst, frag noch mal, das
kann ich dir nicht aus dem Gedächtnis sagen.
Wofür hat man das gebraucht?
Meinste, daß mit OP EIN Punkt der Ebene bestimmt wird? Dann
kannste auch den Ortsvektor aus der Spannvektoren-Formel
nehmen.
Stützvektor= Ortsvektor… ) scheint wohl nur ein anderer Begriff zu sein.
Gruß Lene
Abi PH/Bio 2002… Hoff’ ich
Hi Lene,
ich will Dich nicht fertig machen…
Sorry…
Hi music,
Berechnest Du nicht den Normalenvektor einer Ebene mit dem
Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren?Richtungsvektoren=Spannvektoren. Ist eigentlich egal, ob Du
das Kreuz- oder das Skalarprodukt nimmst, oder?
Das Problem ist, dass das Kreuzprodukt bei uns nur im Mathe-LK
erklärt wird, deswegen kann ich so nicht argumentieren.
Ich hatte ja Mathe LK in Sachsen Anhalt bei nem super Lehrer…
Naja, wenn Du zwei Skalarprodukt-Gleichungen hast, wo Du das GS erst auflösen mußt, oder ob Du das Kreuzprodukt quasi nur hinschreiben mußt ist später schon ein entscheidender Unterschied. Außerdem bekommst Du beim Kreuzprodukt die Fläche des aufgespannten Parallelogramms heraus. Kreuzprodukt ist in der Elektrotechnik schon wichtig…
Da hast Du ein unterbestimmtes Gleichungssystem (3 Variablen 2
Gleichungen) aber kannst ja dann eine dann 1 setzen.Stimmt, dass hat ich vergessen zu erwähnen!
passiert…
Hauptsache, daß Du das in der Arbeit so weißt…
n*(x- OP)=0 ist die Normalenform, wobei OP ein Stützvektor
ist. Wenn Du die Hereitung dafür suchst, frag noch mal, das
kann ich dir nicht aus dem Gedächtnis sagen.Wofür hat man das gebraucht?
Meinste, daß mit OP EIN Punkt der Ebene bestimmt wird? Dann
kannste auch den Ortsvektor aus der Spannvektoren-Formel
nehmen.Stützvektor= Ortsvektor…
Begriff zu sein.
Ja, dank der Kultusminister…
Stützvektor ist mir was neues…
Selbst die Profs in Mannheim nennen sowas Ortsvektor (Vektor vom Nullpunkt zu einem bestimmten Punkt in der Ebene oder Raum)
Gruß Lene
Abi PH/Bio 2002… Hoff’ ich
Gruß
mus.
*der in der Mathe-LK-Prüfung 2 h nur ein Gaußsches GL berechnet hat, weil er immer wieder sich verrechnet hat. (gemerkt dank Kreuzprodukt, ging um Schnittgerade zweier Ebenen) *gfg*