HIILFE schnell! Kosinussatz und kompl. Standardfor

Hallo!

Ich hab am Montag eine Prüfung, und dazu muß ich was mim Kosinus-Satz rechnen. Ich hab mir hier aufgeschrieben

a² = b² + c² - 2bc*cos(alpha) (1)

In dem Buch steht aber was (es ist nicht direkt die Rede vom Kosinus-Satz nur es schaut so aus, also ob der da passen würde), das so ausschaut

a² = b² + c² + 2bc*cos(alpha) (2)

(also gleich, nur mit einem Plus).

Was ist jetzt der echte Kosinussatz, also was stimmt und was nicht? (1) oder (2)

Noch eine Frage (die dazu gehört).

Ich muß da wahrscheinlich ein Beispiel rechnen:

u = u1*cos(wt+phi1) + u2*sin(wt+phi2) (3)

u1 und u2 sind Konstanten (also die Amplitude)

Aufgabe ist, das auf die Komplexe Standardform zu bringen, also

u = |u| * exp(j*(wt+phi3)) (4)

Wie kann ich |u| und phi3 berechnen?

Also |u| geht ungefähr über den Kosinussatz (hier im Buch hat er sowas ähnliches, mit der Gl.(2) gemacht, aber da fehlen einige Schritte dazwischen).

Bitte helft mir!

Danke
Hansi

hallo!

a² = b² + c² - 2bc*cos(alpha) (1)

das quadrat der einen seite ist gleich der summe der quadrate der beiden anderen seiten, vermindert um das doppelte produkt dieser und dem cosinus des eingeschlossenen winkels.

schau doch nochmal nach, in welchem zusammenhang du die andere gleichung gesehen hast, es kann sein, dass auch diese in dem entsprechenden zusammenhang richtig ist oder aber dass sich um einen bedauerlichen druckfehler handelt.
kurz: (1) ist richtig

OLU

Hi!

a² = b² + c² - 2bc*cos(alpha) (1)

das quadrat der einen seite ist gleich
der summe der quadrate der beiden anderen
seiten, vermindert um das doppelte
produkt dieser und dem cosinus des
eingeschlossenen winkels.

schau doch nochmal nach, in welchem
zusammenhang du die andere gleichung
gesehen hast, es kann sein, dass auch
diese in dem entsprechenden zusammenhang
richtig ist oder aber dass sich um einen
bedauerlichen druckfehler handelt.
kurz: (1) ist richtig

Aha, danke!

Ich hab mir das grade angeschaut. Hat das Buch auch recht. Es geht nämlich um den Winkel 180°-phi, und das ist gleich -cos(phi). :smile:))))))

Kannst Du auch noch was zu der komplexen Standardform sagen?

Bye
Hansi

Hallo Hansi!

Zunächst zu Deiner Kosinussatz-Frage.

Die von Dir zitierten Gleichungen

a^2²= b^2²+ c^2 - 2 b c cos(alpha) (1)
a^2²= b^2²+ c^2 + 2 b c cos(alpha) (2)

gibt es beide. In einem bestimmten Kontext (ich erzähle Dir gleich,
in welchem) wechselt das „Minus“ in (1) tatsächlich zu „Plus“.
Höchstwahrscheinlich ist es bei Dir also *kein* Druckfehler.

Der richtige und wahre und einzige Kosinussatz ist (1).
Er stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für
nicht-rechtwinklige Dreiecke dar.

Meistens wird er in der Form

c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos(gamma)

angegeben und gamma bezeichnet darin den Winkel in derjenigen Ecke
des Dreiecks, die der Seite „c“ gegenüberliegt. Für gamma = 90 Grad
erhälst Du daraus wegen cos(90 Grad) = 0 den ollen Pythagoras
c^2 = a^2 + b^2 als Spezialfall.

Genauso richtig wie (1) sind aber auch die beiden anderen Kosinus-
satz-Formen

a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos(alpha)
b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c cos(beta)

wenn alpha bzw. beta den Winkel in der Ecke gegenüber der Dreieckseite
„a“ bzw. „b“ bezeichnet (vgl. Bildchen in Formelsammlung).

Nun zur Mutation des Plus- in ein Minuszeichen. Sie tritt dann auf,
wenn Du zwei *Vektoren addierst*, und Dich fragst, welchen Betrag der
resultierende Vektor hat. Zeichne mal am besten so ein Vektorparal-
lelogramm auf, mit den Vektoren vec[b] und vec[c], die den Winkel phi
einschließen. Der Summenvektor vec[a] := vec[b] + vec[c] zeigt dann
von der phi-Ecke aus auf die gegenüberliegenden Ecke und teilt das
Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke.
Frage: Wie groß ist der Betrag a („Länge“) von vec[a]?

Die Antwort, die Du leicht mit dem Kosinussatz findest, lautet:

a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos((360 Grad - 2 * phi)/2)

Wegen cos(180 Grad - phi) = -cos(phi) folgt:

a^2 = b^2 + c^2 + 2 b c cos(phi) (3)

Und da steht es, das Plus! Die Erklärung für das Kosinus-Argument
„(360 Grad - 2 * phi)/2“ ist einfach: Zwei der Winkel im Parallelo-
gramm sind gleich phi, und die Winkelsumme eines Vierecks ist immer
360 Grad. Deshalb sind die beiden Winkel in den Pfeilspitzen von
vec[b] und vec[c] gerade gleich (360 Grad - 2 * phi)/2 groß.

Du kannst Dich leicht davon Überzeugen, daß (3) für den Fall paral-
leler Vektoren (phi = 0) wie erwartet übergeht in a = b + c, und für
antiparallele (phi = 180 Grad) in a = abs(b-c).

Daß (3) nicht nur für die Addition „echter“ Vektoren, wie z. B.
Kräften oder Geschwindigkeiten, sondern auch für die Addition kom-
plexer Amplituden (Ströme, Spannungen, Widerstände…) gut ist,
ist klar.


Und jetzt zu

u = u1*cos(wt+phi1) + u2*sin(wt+phi2) (4)

Sorry, wenn ich das jetzt so unverblümt sage, aber phi1 und phi2
haben in dieser Gleichung nix verloren. Das haben sie nur, wenn
beidemal „sin“ oder beidemal „cos“ da steht.

Ansonsten gibt nur noch einen Ausdruck, wo „cos“ UND „sin“ drinsteht,
aber dann ohne phi1 und phi2. Den schreibe ich mal in folgender
Form mit a und b und „Minus“ hin:

a * cos(wt) - b * sin(wt) (5)

Dieser Ausdruck ist identisch mit dem Ausdruck

A * cos(wt+phi0) (6)
mit A = sqrt(a^2 + b^2)
und tan(phi0) = b/a

A heißt „Amplitude“ und phi0 „Nullphasenwinkel“ (und „Phase“ nennen
sich die Argumente des Sinus und Cosinus).

Die Gleichheit von (5) und (6) läßt sich folgendermaßen beweisen.

a * cos(wt) - b * sin(wt)
= sqrt(a^2 + b^2) * (a/sqrt(…) * cos(wt) - b/sqrt(…) * sin(wt))

a/sqrt(…) = 1/sqrt(1+(b/a)^2) = cos(arctan(b/a)) = cos(phi0)
b/sqrt(…) = (b/a)/sqrt(1+(b/a)^2) = sin(arctan(b/a)) = sin(phi0)
sqrt(a^2 + b^2) = A

= A * (cos(phi0) * cos(wt) - sin(phi0) * sin(wt))

(Additionstheorem „cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y“)

= A * cos(wt+phi0)

Zur komlexen Form kommst Du schließlich so:

= Re (A * cos(wt+phi0) + j * A * cos(wt+phi0))
= Re (A * exp(j*(wt+phi0)))
= Re (A * exp(j*phi0) * exp (jwt))
= Re ({A} * exp (jwt))

Wobei {A} = A exp (j phi0) als „komplexe Amplitude“ bezeichnet wird.
„Re“ bedeutet natürlich „Realteil von“.
Es gelten die Zusammenhänge
{A} = a + jb
A = abs({A}) = sqrt(a^2 + b^2)
a = A cos(phi0) = Re {A}
b = A sin(phi0) = Im {A}


Wenn Du in (4) noch die Phasenverschienungen phi1 und phi2 drin
stehen hast, machst Du aus „meinen“ schön senkrecht aufeinander-
stehenden sin- und cos-Zeigern solche, die nicht mehr zueinander
orthogonal sind.

Speziell beim Ausdruck (Achtung: Jetzt beidemal „sin“!)

u1*sin(wt+phi1) + u2*sin(wt+phi2) (7)

hast Du zwei Zeiger, die den Winkel phi2-phi1 einschließen.
Dieser Ausdruck ist identisch mit dem Ausdruck

U sin(wt + phi) (8)

und die Berechnung von U läuft über nichts anderes als (3) ab.
Das Ergebnis lautet erwartungsgemäß:

U = sqrt(u1^2 + u2^2 + 2 u1 u2 cos(phi2-phi1))

Das gilt auch dann, wenn in (7) beidesmal „cos“ statt „sin“ steht.

Der Phasenverschiebungswinkel phi in (8) ergibt sich zu

tan(phi) = (a sin(phi1) + b sin(phi2)) / (a cos(phi1) + b cos(phi2))


Uff, ich denke, jetzt ist aber wirklich genug zusammengekommen. :wink:

Ich hoffe, ich konnte Dir helfen und wünsche Dir viel Glück bei Deiner Prüfung.

Tschau
Martin

Hallo Martin!

Danke für die super Antwort! Da steht wirklich alles drin! :smile:)))

Das Plus im Kosinus-Satz kommt wirklich von einer Zeiger-Addition. Da ist das dann 180-(phi1-phi2). Ok, hab ich verstanden! :smile:)))

Die Addition von Sin und Cos ohne Phasenverschiebungswinkel ist kein Problem. Der Prof. hat aber bei der Prüfung genau (sogar die selben Namen) dieses Beispiel gegeben. :frowning:((((((

Zur komlexen Form kommst Du schließlich
so:

= Re (A * cos(wt+phi0) + j * A *
cos(wt+phi0))

Gehört da nicht j*A*sin(wt+phi0)???

Hab ich das richtig verstanden. Wenn ich von der reellen Normalform zu komplexen will, muß ich praktisch den Imaginärteil „dazuerfinden“, weils den ja physikalisch gar nicht gibt. Ich mach also genau das selbe wie beim Cos vorne, nur mit j multipliziert und mit einem Sinus?

Wenn Du in (4) noch die
Phasenverschienungen phi1 und phi2 drin
stehen hast, machst Du aus „meinen“ schön
senkrecht aufeinander-
stehenden sin- und cos-Zeigern solche,
die nicht mehr zueinander
orthogonal sind.

Genau das wollte der Prof. ja.
:frowning:((((((((((((((

Deine Einschränkung auf zwei Sin ist praktisch nicht schlimm, weil sin(phi) = cos(phi-pi/2).

U = sqrt(u1^2 + u2^2 + 2 u1 u2
cos(phi2-phi1))

Aja, wieder wie vorher mim Cosinus-Satz.

tan(phi) = (a sin(phi1) + b sin(phi2)) /
(a cos(phi1) + b cos(phi2))

Hmm. Ahh! :smile: Das is ja einfach „Im/Re“ von dem „langen“ Zeiger. :smile:)))

Uff, ich denke, jetzt ist aber wirklich
genug zusammengekommen. :wink:

Ich hoffe, ich konnte Dir helfen und
wünsche Dir viel Glück bei Deiner
Prüfung.

Danke! Du hast mir echt geholfen!

Bye
Hansi

Hallo Hansi,

danke für die Blumen.

Den zweiten „cos“ in „Re (A * cos(…) + j * A * cos(…))“ hast Du
natürlich völlig zu recht beanstandet. Klar, er ist
ein „sin“. Hatte den Besuch vom Fehlerteufel glatt
nicht gemerkt - Tschuldigung.

Hab ich das richtig verstanden. Wenn ich von der
reellen Normalform zu komplexen will, muß ich
praktisch den Imaginärteil „dazuerfinden“, weils
den ja physikalisch gar nicht gibt. Ich mach also
genau das selbe wie beim Cos vorne, nur mit j
multipliziert und mit einem Sinus?

Das trifft den Nagel auf den Kopf. Den Imaginärteil „erfindet“ man
ausschließlich deshalb dazu, weil er sozusagen die „Eintrittskarte“
in die komplexe Ebene ist. Ob man sich schwingende reelle Punkte
oder rotierende komplexe Zeiger, deren Spitzen Schatten auf die
Re-Achse werfen und dort besagte schwingenden reellen Punkte erzeu
gen, ansieht, ist *theoretisch* völlig egal. In der Praxis haben die
Zeiger allerdings „die Nase vorn“, und zwar um Längen. Und das gilt
sowohl was das Verständnis von Zusammenhängen im Bereich der Schwin-
gungslehre (ob Pendel, elektrische Spannung oder elektromagnetische
Felder schwingen, ist da wurscht) angeht, als auch was Rechnungen
betrifft.

Viel besser als mit den reellen Größen rechnet man nämlich (voraus-
gesetzt man weiß, wie’s geht :smile:) mit ihren zugehörigen komplexen
Amplituden. Das tut man, soweit es überhaupt nur geht. Erst wenn
man ein „physikalisch sinnvolles“ Ergebnis haben will, z. B. am
Schluß", bildet man den Realteil dessen, was man da komplex auf dem
Papier stehen hat. Diese Vorgehensweise kann man sogar als Standard
in der Wechselstromtechnik und auch in anderen Gebieten der Physik
bezeichnen.

tan(phi) = (a sin(phi1) + b sin(phi2)) /
(a cos(phi1) + b cos(phi2))

Hmm. Ahh! :smile: Das is ja einfach „Im/Re“ von dem „langen“ Zeiger.

Yeah, das und nichts anderes sonst!

Instruktiv ist es auch, sich einmal die Terme

a cos(wt) + b sin(wt) (1)

A cos(wt + phi0) (2)

und

Re({A} exp(jwt)) (3)

als „Arbeitsaufträge“ für einen Elektroniker vorzustellen.

(1): Nehme zwei harmonische Oszillatoren, die auf derselben Frequenz
w/(2*pi) schwingen. Die Schwingungen müssen um 90 Grad gegenein-
ander verschoben sein. Von den Ausgängen der beiden geht’s in zwei
regelbare Amplifier, die um die Faktoren a und b verstärken. Deren
Ausgänge werden zusammengemischt (Mischungen in Mischpulten sind
Additionen!).

(2): Nehme nur EINEN harmonischen Oszillator, der ebenfalls mit
w/(2*pi) schwingt, dessen Phasenverschiebung aber gegenüber den
beiden obigen Oszillatoren regelbar ist. Seine Ausgansspannung
wird in EINEM Amplifier um dem Faktor A verstärkt. Ein Mischpult
ist überflüssig.

(3): Pinne einen Zeiger {A} - genannt „komplexe Amplitude“ - in die
komplexe Ebene. Seine Länge soll A sein und er soll um genau DEN
Winkel von der Re-Achse wegstehen, dessen Tangens gleich b/a ist.
Dann baue noch einen Zeiger der Länge 1, welcher mit der Kreisfre-
quenz w in der komplexen Ebene rotiert. Dieser und {A} werden mit-
einander multipliziert. Nehme den Schatten, den die Spitze des
Produktzeigers auf die Re-Achse wirft.

Ich finde, daß solche Veranschaulichungen für das Verständnis von
so abstraktem Zeug (und damit praktisch für alles aus Physik und
Mathe) von unschätzbarem Wert sind.

Wenn Du noch Fragen hast: Stelle sie einfach!

Bye
Martin

Hi Martion!

Das Beispiel mit den Verstärkern ist eine sehr praktische Erklärung, wie man sich so ein „+“ von zwei Winkelfunktionen vorstellen soll.

Ich studier ja grade Elektrotechnik! :smile: Außerdem war ich vorher in einer HTL für Elektrotechnik. Komplex rechnen ist also nix neues für mich. Nur das mit den Sin- und Cos-Sätzen, Additionstheoreme, … mag ich halt nicht so gerne. Und dieses eine Beispiel hat mich bei der schriftlichen Prüfung (am Mo folgt dann die mündliche) gehunzt. Und da der Prof. gerne die verhunzten Beispiele bei der Mündliche nochmal rechnet, hab ich das gebraucht. Wenn er mich das dann fragt, werd ich brillieren! :smile:))

Vielen Dank nochmal für Deine Erklärungen!

Bye
Hansi