Hilbert- bzw. Fockräume

Wissenschaft Physik
#1

Liebe in der Mathematik und/oder Physik Bescheid Wissende! Um es kurz zu machen, ich komme eher aus dem philosophischen Lager und habe deshalb folgende (für mich) komplizierte Frage:

In seinem Roman(!!!) „Elementarteilchen“ beschreibt Michel Houellebecq die Suche eines (Multi)Naturwissenschaftlers nach den (im Roman letztlich erfolgreichen) Formeln der künstlichen Reproduktion des Menschen als Formträger einer neuen Gattung, die die Versprechen der bürgerlichen Gesellschaft einlöst.
In diesem Zusammenhang ist bei der Annäherung an ein so komplexes Phänomen wie der Beschreibung und/oder Handhabbarmachung (vielleicht könnte man auch Matrixisierung sagen) des Bewußtseins desöfteren von Hilbert- bzw. auch Fockräumen die Rede.
Meine Frage ist: Existieren (theoretisch) solche Räume oder ist das eine freie Erfindung des Autors?
Wenn ja, was hat es mit ihnen auf sich, will heißen: Was hat man sich als mathematischer Laie darunter vorzustellen?
Ich möchte darauf hinweisen, daß ich in meiner Vorstellungswelt in allen Richtungen durchaus begabt bin, jedoch Formeln schlechter verstehe als (plausible) Erklärungen. Mit Dank für Antworten
Uwe

#2

Hi Uwe

Meine Frage ist: Existieren (theoretisch) solche Räume oder
ist das eine freie Erfindung des Autors?

Nein, die beiden Begriffe Hilbertraum und Fockraum (beides Spezialisierungen eines allgemeineren Raumes namens Banachraum) sind keine Erfindung des Autors. Allerdings „existieren“ sie lediglich in einem mathematischen Sinne von „Existenz“. Und deshalb ist die Frage:

Wenn ja, was hat es mit ihnen auf sich, will heißen: Was hat
man sich als mathematischer Laie darunter vorzustellen?

etwas heikel zu beantworten, denn „vorstellen“ kann man sich darunter gar nichts, erst recht, weil man zur Beschreibung wiederum mathematische Begriffe verwenden muß. In nicht-mathematischer Beschreibung kann man gar nichts dazu sagen.

Man braucht diese Räume (die eigentlich Mengen sind, auf denen bestimmte Strukturen definiert sind: komplexe Vektorräume) in der Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie, um das Verhalten von Wellenfunktionen zu beschreiben. Eine Wellenfunktion ist die Form, in der in der QM und QFTh ein Teilchen und seine Eigenschaften beschrieben wird. Eine Wellenfunktion z.B. eines Wasserstoffatoms, eines Protons, eines Elektron ist sozusagen ein „Punkt“ (bzw. ein Element) in einem Hlbertraum. Auch der Fockraum ist eine solche Struktur, mit etwas anderen Eigenschaften. Bosonen (Wechselwirkungsquanten) werden in bosonischen, Fermionen (Materieteilchen) werden in fermionischen Fockräumen gerechnet.

Ganz allgemein kann man sagen, es handelt um rein mathematische Strukturen, die mit einem Raum der sinnlichen Anschauung nichts zu tun haben.

Mir ist klar, daß diese Erklärung dich nicht zufriedenstellen wird :frowning:

Grüße

Metapher

#3

Hilbert-Raum
Hallo

sagen) des Bewußtseins desöfteren von Hilbert- bzw. auch
Fockräumen die Rede.
Meine Frage ist: Existieren (theoretisch) solche Räume oder
ist das eine freie Erfindung des Autors?

Natürlich existieren diese Räume, das sind ja nur mathematische Konstrukte.

Ein Hilbertraum ist einfach ein Vektorraum:

Also ein Raum mit Elementen in denen eine Verknüpfung „+“ definiert ist, sodass dass die Summe zweier Elemente a+b wieder in diesem Raum liegt. (mit guten Rechengesetzen, zb. a+b=b+a u.s.w.)

Zusätzlich ist gefordert, dass ein sogenanntes Skalarprodukt (.,.) definiert ist. Dieses bildet zwei Vektoren in einen Zahlenkörper ab, also (a,b) ist eine Zahl.
Mit diesem Skalarprodukt ist auch eine sog. Norm induziert, das ist so was wie die Länge eines Vektors:
||a|| := wurzel((a,a))

Als letztes wird noch gefordet, dass dieser Raum „abgeschlossen“ ist, d.h. dass jede konvergente Folge a_k konvergiert gegen einen Grenzwert, der selbst wieder im Hilbert-Raum liegt.

Also: Hilbertraum = Vektorraum + Skalarprodukt + Abgeschlossenheit

Gruß
Oliver

#4

Korinthenkackmodus

Als letztes wird noch gefordet, dass dieser Raum
„abgeschlossen“ ist, d.h. dass jede konvergente Folge a_k
konvergiert gegen einen Grenzwert, der selbst wieder im
Hilbert-Raum liegt.

Also: Hilbertraum = Vektorraum + Skalarprodukt +
Abgeschlossenheit

Hi,

Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft bezügliche Operationen. Was Du meinst ist VOllständigkeit.

Liebe Grüße,

Max

#5

Grobe Vorstellung
Ohne jetzt mathematisch korrekt sein zu wollen, stell dir „einfach“ einen Raum vor, in dem es unendlich viele (und nicht nur drei) Richtungen gibt, die alle jeweils aufeinander senkrecht stehen.

Grüße
Moriarty

#6

Stellvertretend für alle anderen, die sich die Mühe gemacht haben, mir zu antworten, möchte ich mich bei Dir bedanken.
Jedoch: Wenn ich mir solche mathematisch definierten Räume als Objekt „vorstelle“, kommt für mich sofort die Frage auf, was ist die Umwelt dieses Raumes? Ich weiß nicht genau, ob dies eine Frage von mathematischer Relevanz ist, doch würde ich gerne an der altbekannten System - Umwelt Unterscheidung festhalten. Wenn dem so ist, stellt sich, um es etwas anders zu formulieren, die Frage, in was ein Hilbertraum denn „eingebettet“ ist, bzw. wie er sich, als einzeln definierter Raum, denn gegen andere Räume, die evtl. parallel existieren, absetzt.
Ich hoffe, meine Frage ist in Mathematikeraugen nicht vollkommener Schwachsinn.
Gruß Uwe

#7

Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft bezügliche Operationen.
Was Du meinst ist VOllständigkeit.

Stimmt, war ein Wortdreher.

#8

Stellvertretend für alle anderen, die sich die Mühe gemacht
haben, mir zu antworten, möchte ich mich bei Dir bedanken.
Jedoch: Wenn ich mir solche mathematisch definierten Räume als
Objekt „vorstelle“, kommt für mich sofort die Frage auf, was
ist die Umwelt dieses Raumes? Ich weiß nicht genau, ob dies
eine Frage von mathematischer Relevanz ist, doch würde ich
gerne an der altbekannten System - Umwelt Unterscheidung
festhalten. Wenn dem so ist, stellt sich, um es etwas anders
zu formulieren, die Frage, in was ein Hilbertraum denn
„eingebettet“ ist, bzw. wie er sich, als einzeln definierter
Raum, denn gegen andere Räume, die evtl. parallel existieren,
absetzt.
Ich hoffe, meine Frage ist in Mathematikeraugen nicht
vollkommener Schwachsinn.

Hallo Uwe,

Ein mathematisches Objekt. z.B: einen Vektorraum, betrachtet der Mathematiker zunächst einml unabhängig von einer „Umwelt“. Insofern ist das Festhalten an bekannter Systematik wenig hilfreich.
Die „Umwelt“ für ein mathematisches Objekt besteht, wenn man so will, immer in seiner Verallgemeinerung.
Ein einfacher Hilbertraum ist beispielesweise die bekannte xy Ebene. (DEr Aus der Schule bekannte Vektorraum mit den Pfeilen). Dieser Raum ist zunächst einmal selbst genug.
Nun kann man ihn als eingebettet in den dreidimensionalen Raum betrachten, muss das aber nicht. Wenn man 2-dimensionale Dinge beschreibt, ist es nicht nötig, sich irgendwelche EInbettungen vorszustellen.
Ebenso kann man sich natürlich auch irgendwelche anderen 2-dimensionalen „Parallelräume“ vorstellen. Die Verbindung zwischen diesen Räumen sind Funktionen, die jedme Element des einen ein Element des anderen Zuordnen. Je nachdem, welche Funktionen man findet, sind die Räume dann mehr oder weniger identisch („Isomorph“), d.h. für den Mathematiker sie haben die selben mathematischen Eigenschaften.
Die Umwelt eines Raumes sind, wenn man so will, Verallgemeinerungen seiner Definition. Man kann aber auch den umgekehrten Weg gehen und seine Umwelt als seine möglicherweise interessanten Spezialfälle ansehen. Oder auch, wenn man unbedingt will, eine Dimension, die den Raum als Spezialfall enthält. Ich fürchte aber, Du kommst beim Versuch, das so zu verstehen auf eine ziemlich falsche Vorstellung davon, was ein mathematischen Objekt eigentlich ist.
Es ist eben für einen Hilbertraum völlig egal, in welcher „Umwelt“ er existiert. Er selbst reicht zur gewünschten Modellierung de suntersuchten Teils der physikalischen Welt - in diesem Fall der Quantenmechanik - völlig aus. Mathematisch interessant sind dann eben mögliche Verallgemeinerungen oder Spezialfälle wie eben Fock oder Banachräume.

Liebe Grüße,

MAx

#9

Fock Raum
Hallo!

Mathematisch
interessant sind dann eben mögliche Verallgemeinerungen oder
Spezialfälle wie eben Fock oder Banachräume.

Kannst du mal kurz erklären, was ein Fock-Raum ist? Das würde mich nämlich auch mal interessieren.

Gruß
Oliver

#10

Hallo!

Mathematisch
interessant sind dann eben mögliche Verallgemeinerungen oder
Spezialfälle wie eben Fock oder Banachräume.

Kannst du mal kurz erklären, was ein Fock-Raum ist? Das würde
mich nämlich auch mal interessieren.

Hi Oliver,

ganz kurz. Ein Fockraum ist ein spezieller Hilbertraum :smile:
Und zwar die vervollständigte äußere Algebra zu einem gegebenen Hilbertraum. Sozusagen die Summe aller Potenzen eines gegebenen Hilbertraumes.

Liebe Grüße,

Max

#11

Lieber Max, vielen Dank für Deine Antworten. Ich werde in mich gehen und versuchen, diesbezügliche Fragen zu formulieren, die auch Mathematiker betreffen bzw. interessieren.
so long u.