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Wissenschaft Physik
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Hallo,

wer kann mir in Sachen WImathe helfen. Sind folgende Aussagen richtig:

  1. hat man eine Basis eines Vektorraumes gegeben, so lkässt dich
    jeder VEKTOR des Vektorraumes eindeutig als Linearkombination der
    Basisvektoren darstellen.

  2. Die Summe der Komponentenquadrate ist für alle Vektoren einer
    orthonormalen Basis gleich.

  3. Das Skalarprodukt ist für alle Paare von Vektoren einer
    orthogonalen Basis gleich.

  4. zu jedem Vektorraum existiert eine eindeutig bestimmte Basis

Danke für Deine Hilfe!!
Stephi

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Hallo Stephi!

wer kann mir in Sachen WImathe helfen.

Ich – hoffentlich! :wink:

Sind folgende Aussagen richtig:

  1. hat man eine Basis eines Vektorraumes gegeben, so lässt
    sich jeder VEKTOR des Vektorraumes eindeutig als Linearkombination
    der Basisvektoren darstellen.

Ja, das ist richtig.

  1. Die Summe der Komponentenquadrate ist für alle Vektoren
    einer orthonormalen Basis gleich.

Ouch. Das ist eine schwierige Frage. Also, im R^n mit dem euklidischen Skalarprodukt ist das richtig. Es ist weiter richtig für alle zum l^2 oder L^2 äquivalenten Hilberträume, also alle separablen Hilberträume. Es gibt aber auch nicht separable Hilberträume, und ob das für die gilt, wage ich zu bezweiflen.
Das sage ich mal: Die Aussage ist in voller Allgemeinheit vermutlich nicht richtig.

  1. Das Skalarprodukt ist für alle Paare von Vektoren einer
    orthogonalen Basis gleich.

Falsch. Sei {v_i} die orthonormal-Basis. Dann gilt: (v_i, v_j) = a_ij, und a_ij ist Null für i ungleich j. Allerdings sind die a_ii von Null verschieden (sonst keine Basis), und sie können sogar untereinander verschieden sein (ist ja keine OrthoNORMALbasis vorausgesetzt!). Selbst für eine ON-Basis ist das aber falsch, da beim Skalarprodukt zweier (nicht unbedingt verschiedener!) Basis-Vektoren entweder 0 oder 1 'rauskommt – und 0 und 1 sind in jedem Körper verschieden.

  1. zu jedem Vektorraum existiert eine eindeutig bestimmte
    Basis

Falsch. Du kannst zum Beispiel zum Vektorraum R^1 beliebig viele Basen angeben: {(-1)}, {(1)}, {(pi*e)} sind alles Basen von R^1.

Anmerkung: Zum Vektorraum (F_2)^1 gibt’s nur eine Basis! :wink:))

Chris

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Hallo Stephi, hallo Christian,

Punkt 2 scheint auch mir der interessanteste zu sein… :wink:

  1. Die Summe der Komponentenquadrate ist für alle Vektoren
    einer orthonormalen Basis gleich.

Ouch. Das ist eine schwierige Frage. Also, im R^n mit dem
euklidischen Skalarprodukt ist das richtig. Es ist weiter
richtig für alle zum l^2 oder L^2 äquivalenten Hilberträume,
also alle separablen Hilberträume. Es gibt aber auch nicht
separable Hilberträume, und ob das für die gilt, wage ich zu
bezweiflen.
Das sage ich mal: Die Aussage ist in voller Allgemeinheit
vermutlich nicht richtig.

Eine Frage: Was ist eine „Komponente“ eines Vektors in einem nicht endlichdimensionalen Raum?

Zunächst scheint mir (wie offenbar Dir, Christian, auch), dass der Begriff „orthonormal“ den Winkelbegriff, also ein Skalarprodukt impliziert. Sinnvollerweise haben wir also wohl in der Tat mindestens einen Hilbertraum H vorliegen. Dann könnte man unter der j-ten „Komponente“ von x das Skalarprodukt j> verstehen. Skalarprodukte mit Basisvektoren ej „filtern“ sozusagen die Komponenten aus dem Vektor x heraus.

Insbesondere können wir für x einen Basisvektor ei einsetzen und erhalten dann für eine Summe über alle j stets die 1: Alle Summanden |i, ej>|2 für ein festes i sind in einem Orthonormalsystem gleich 0 bis auf den Fall i=j, der uns die 1 beschert.

Christian, ich weiß natürlich nicht genau, aber vielleicht schwirrte bei Dir die folgende Geschichte im Hinterkopf(?):

Eine orthonormales System (d.h. die Menge {ej | j in J} für eine beliebige Indexmenge J), das eine Basis ist, impliziert, dass diese Menge dicht in H ist (d.h., dass der topologische Abschluss von span{ej | j in J} gleich H ist). Für ein beliebiges Orthonormal_system_ muss dies nicht der Fall sein.

Diese Eigenschaft ist aber äquivalent dazu, dass die Parseval’sche Gleichung gilt, d.h. für jedes x im Hilbertraum ist

||x||2 = summe über j in J von |j>|2

erfüllt - was eben bei beliebigen Orthonormalsystemen nicht sein muss.

Die Ausgangsfrage wäre jedoch ohnehin folgendermaßen zu beantworten:

Ja, in jedem Hilbertraum mit einem Orthonormalsystem (erst recht bei einer Basis) ist die Summe der Komponentenquadrate eines jeden seiner Elemente gleich 1.

Grüße,
Martin