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Wissenschaft Physik
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Ich mache mir gerade über folgendes Beispiel Gedanken:
eine person darf nach entrichtung von S10.- mit 3 Würfeln werfen. Die Anzahl der geworfenen Sechser wird wie folgt honoriert!
1Sechser=Die Person gewinnt S10.-
2Sechser=Die Person gewinnt 25.-
3 Sechser: Die Person gewinnt S50.-
Wird kein Sechserg eworfen, verfällt der Einsatz von 10.-
Prüfe ob die Person mit einem Gewinn oder Verlust zu rechnen hat!

ich hatte mir schon überlegt, dass die gewinnwahrscheinlichkeit so ist:
1Sechser: 1/6 * 10(=einsatz)
2Sechse:1/36 * 25(=einsatz)
3Sechser:1/216 * 50(=einsatz)
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Hallo!

Drei (voneinander unabhängige) Würfel zu werfen kann man auch auffassen als drei Würfe mit einem Würfel. Das Experiment ist also ein Wurf, und das wird drei mal wiederholt. Genausogut kann man sich vorstellen, eine Urne enthält sechs Kugeln (mit 1 bis 6 beschriftet), aus der mal drei mal nacheinander mit zurücklegen eine Kugel zieht. Wir sagen, der Versuch wird n-mal wiederholt.

Gesucht sind nun die Wahrscheinlichkeiten für genau k (keinmal, einmal, zweimal bzw. dreimal) bestimmte Ereignisse (E: es wird eine 6 gewürfelt/gezogen) der Einzelwahrscheinlichkeit p (p(E)=1/6).

Das geht mit der Binomialverteilung:

P(X=k) = (n über k)*pk(1-p)n-k

(n über k) ist n! / (k!(n-k)!)

In deinem Fall ist n=3, p=1/6 und k = 1,2 und 3.

P(X=0) = 0.57870370
P(X=1) = 0.34722222
P(X=2) = 0.06944444
P(X=3) = 0.00462963

Natürlich ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1.

Der Erwartungswert (=der mittlere Gewinn) ergibt sich, indem die Wahrscheinlichkeiten mit den Gewinnen multipliziert werden und das alles addiert wird:

E = P(X=0)*(-10€) + P(X=1)*10€ + P(X=2)*25€ + P(X=3)*50€ = -0.3472

Bei diesem einsatz würdest du pro Spiel im Mittel fast 35 Cent verlieren. Das ist fast fair (gemessen am Einsatz von 10€).

Wie hoch müßte der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist (d.h., daß langfristig keiner mehr gewinnt als der andere) ?

Gruß
Jochen

3

Hallo,
die Wahrscheinlichkeiten hast du alle korrekt berechnet. Ob aber das Ergebnis -0.347…€ stimmt, hängt nun davon ab, was unter dem Begriff „gewinnen“ verstanden wird. In der Aufgabenstellung heißt es ja z.B.

1Sechser=Die Person gewinnt S10.-

Das könnte bedeuten:

  1. Der Spieler bekommt $10 zurück, hat aber wegen des Einsatzes von $10 insgesamt nichts gewonnen.
  2. Der Spieler bekommt soviel Geld ausgezahlt, dass er bei Berücksichtigung des Einsatzes $10 Gewinn hat (bekommt dann also $20 zurück).

Im 2. Fall ist die Gleichung

E = P(X=0)*(-10€) + P(X=1)*10€ + P(X=2)*25€ + P(X=3)*50€ = 0.3472€

korrekt. Das Spiel wäre fast fair.
Im 1. Fall sieht es aber schon wesentlich ungünstiger für den Spieler aus:
E = P(X=1)*10€ + P(X=2)*25€ + P(X=3)*50€ - 10€ = -4.56€.

Vermutlich ist Fall 2 korrekt, denn dem Veranstalter würde im 2. Fall ziemlich bald die Kunden ausbleiben…
Viele Grüße
Jens

PS: Es sei überall S1=$1=1€ vorausgesetzt.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo,

ja, danke, du hast Recht:

die 10€ zahlt der Kunde ja als Einsatz in jedem Fall, also nicht nur dann (wie ich gerechnet habe) wenn er keine 6 Würfelt.

Statt

E = P(X=0)\*(-10€) + P(X=1)\*10€ + P(X=2)\*25€ + P(X=3)\*50€

muß es heißen

E = -10€ + P(X=1)\*10€ + P(X=2)\*25€ + P(X=3)\*50€

Gruß
Jochen