HILFE…
Hab ein großes Problem mit meinen Analysis-HA…
Wer kann mir helfen??
Die Aufgabe lautet:
Es seien a und b zwei beliebige positive Zahlen und es sei
bo := b/a und a0 := a (0 ist Index)
sowie bn := ½ (an-1 + bn-1) und an := b/bn. {n bzw. n-1 sind Indizes)
Zeige: Die Intervalle [an, bn] mit n natürliche Zahl, liefern eine Intervallschachtelung, die gerade Wurzel aus b erfasst.
Hallo,
über das Problem haben sich schon die Babylonier Gedanken gemacht. Das nennt man babylonisches Wurzelziehen.
Allgemeine Formel: a_n+1=1/2 * (a_n + x/a_n)
Diese Folge konvergiert gegen wurzel(x) für n gegen unendlich
Es seien a und b zwei beliebige positive Zahlen und es sei
bo := b/a und a0 := a (0 ist Index)
Also gilt: a_0=b/b_0
sowie bn := ½ (an-1 + bn-1) und an := b/bn.
{n bzw. n-1 sind Indizes)
hier gilt also a_n=b/b_n, damit hast du die Folge a_n mit Hilfe der Folge b_n dargestellt, und wenn du das einsetzt hast du:
b_n=1/2 * (b_n-1 + b/b_n-1)
Diese Folge konvergiert also schon mal gegen wurzel(b), auch das kann man beweisen, must du eben im Internet gucken.
Außerdem gilt: da a,b>0 gilt auch b_n >0 für alle n und damit a_n>0.
an := b/bn ist äquivalent zu b_n=b/a_n Da du den Limes von b-n kennst gilt: lim b_n=lim b/a_n=wurzel(b)
Grenzwertsätze anwenden: lim a_n=Wurzel(b)
Also konvergieren die schon mal gegen den selben GW. Jetzt kann man noch zeigen, dass b_n monoton fallend, daraus ergibt sich a_n monoton wachsen, durch die Darstellung und weil b>0 Konstante.
Jetzt wendest du das Intervallschachtelungsprinzip an.
Hoff es hilft.
Hallo,
einsetzen liefert bn+1=(b/bn+bn)/2=(b+bn2)/2bn. Zunächst mal erkennt man, daß für bn2=b, bn+1=bn folgt. Betrachten wir nun die Folge dn=|bn2-b|, so kann man mittels Induktion zeigen, daß die Folgeglieder streng monoton fallend sind, also dn+1n, falls dn > 0. Nach Def. gilt dn => 0 und nach obiger Betrachtung dn+1=dn für dn=0. Damit konvergiert die Folge d gegen 0 und damit die Folge b gegen die Wurzel von b.
Gruss
Enno