Moin, moin,
wie so oft in der Analytischen Geometrie gibt es viele Wege zur Lösung.
Im Grunde kommt es nicht darauf an, überhaupt einen Lösungsweg zu finden, sondern darauf, den geeignetesten, geschicktesten Weg zu finden.
Sonst muss man lange Zeit rechnen und erhöht zugleich die Wahrscheinlichkeit, sich beiläufig einen Fehler einzufangen.
Gerade wenn du eine Klausur über das Thema schreibst, eventuell nicht weißt, was genau Thema sein wird, dann rate ich dir dazu, dich grundlegend mit den „Werkzeugen“ vertraut zu machen.
Wenn du das Werkzeug beherrscht, dann ist auch das finden eines Lösungsweges für dich eine Leichtigkeit.
Die Frage ist nur: Was ist das Werkzeug?
Dazu später noch.
Zunächst zu (m)einem Lösungsweg (Aufgabe a)):
Solche 3 Punkte kriegst du am einfachsten aus […]
Nun prüfst du einfach, ob diese 3 Punkte die Ebenengleichung
E2 erfüllen, indem du sie dort einsetzt.
Das würde mir zu lange dauern.
Du weißt, dass die Ebenen identisch sind, denn die Aufgabe verlangt lediglich, dass du es „zeigst“.
(1.) Nimm dir also die Normalenvektoren beider Ebenen.
Wenn sie beide in die gleiche Richtung zeigen, das heißt, wenn beide parallel sind, dann hast du nachgewiesen, dass die Ebenen parallel oder identisch sind.
Wie man sich das vielleicht vorstellen kann:
Jeder Normalenvektor durchbohrt die Ebene, zu der er gehört, immer senkrecht (das heißt im 90° Winkel).
Man kann sich also eine Ebene mit ihrem zugehörigem Normalenvektor vorstellen wie einen Bleistift, den man durch eine (endlose) Brotscheibe sticht.
Wenn man zwei Brotscheiben mit einem Bleistift (im gleichen Winkel) durchbohrt und die Brotscheiben nebeneinder legt, dann zeigen die Bleistifte in die gleiche Richtung - und andersherum.
(2.) Um nachzuweisen, dass die Ebenen nicht identisch sondern parallel sind, nimmst du dir einen (!) Punkt, der in der Ebene A liegt, und setzt ihn in die Ebenengleichung von Ebene B ein.
Da generell die Ebenengleichung für alle Punkte, die auf der Ebene liegen, wahr ist, wirst du auch für diesen Punkt eine wahre Gleichung erhalten.
Somit hast du gezeigt, dass es sich um identische Ebenen handelt.
Du hast gezeigt, dass sie parallel oder identisch sind.
Dann hast du gezeigt, dass ein Punkt der einen Ebene auch auf der anderen Ebene zu finden ist.
Diese beiden Informationen bedeuten, dass sie gleich sind, also alle Punkte der einen Ebene auch Punkte der anderen Ebene sind.
Was ist Werkzeug der Analytischen Geometrie?
Werzeug ist so manches.
Es beginnt damit, dass man weiß, wie man mit Vektoren rechnet, es geht weiter mit z.B. dem Spatprodukt und es endet - ja eigentlich endet es nie.
Insofern hier nur eine kleine Aufzählung des Wichtigsten:
- Rechnen mit Vektoren (Vektoren addieren, subtrahieren, multiplizieren. Kann man Vektoren dividieren?)
- Länge von Vektoren (Wie ist der Betrag eines Vektors definiert, wie seine Länge?)
- Welche Darstellungsform(-en) von Geraden und von Ebenen sind wichtig? (Koordinatenform, Normalenform, Parameterform. Was sind ihre jeweiligen Vorzüge, Nachteile)
- Wie rechne ich sie ineinander um?
- Was ist das Skalar-, was das Kreuzprodukt? (Wie kann ich sie berechnen und was erzeugen sie am Ende?)
Zu deiner Aufgabe (ich benutze Punktschreibweise anstatt Vektoren, der Schnelligkeit wegen):
1.
E1 hat die Richtungsvektoren (0|2|-2) und (3|-1|0)
Wenn wir das Kreuzprodukt (auch: Vektorprodukt) beider bilden, erhalten wir den Normalenvektor.
Lediglich seine Richtung ist relevant, also können wir seine einzelnen Koordinaten kürzen, solange wir den gleichen Divisor verwenden.
Wir erhalten (2|6|6) und dividieren durch 2 und erhalten (1|3|3).
Den Normalenvektor (1|3|3) können wir auch an der Ebene E2 ablesen.
Somit sind sie parallel.
-
Setzen wir den Stützvektor der Parameterform von E1 (die wir bereits gegeben haben, also einfach einen Punkt(1|2|3) von E1 ablesen) in die Normalenform (genauer gesagt, Punktnormalenform) von E2 ein:
(1|3|3) * [(1|2|3) - (4|-1|5)] = 0
Zusammenfassen zu 2 Vektoren:
(1|3|3) * (1-4|2+1|3-5) = 0
Ausmultiplizieren der beiden Vektoren (Skalarprodukt):
1*(1-4) + 3*(2+1) + 3*(3-5) = 0
anders gesagt: 0 = 0
Also wahr!
Hoffe, konnte helfen,
Gruss von Roach
