Hilfe bei Aufgaben zur Umkehrfunktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Leute,

bei mir steht demnächst eine Analysisklausur ins Haus und da bin ich nicht gerade der Klassenprimus.
Beim Thema Umkehrfunktion (und anderen) hab ich so meine Probleme. Einfache Aufgaben sind schnell gelöst, jedoch bekomm ich es nicht hin nach x aufzulösen, wenn die Variable zweimal vorkommt.
Habe mal ein paar Aufgaben notiert, die ich eigentlich lösen können sollte.
Denke hier gibts sicher genug schlaue Köpfe, die mir da weiterhelfen können.

  1. y=x³-2x+3
  2. y=1/2x²-5x+8 x>5
  3. y=x(hoch)4-4x²+1
  4. y=e(hoch)-x²
  5. y=e(hoch)-(x²/2)*(nicht mehr im Exponeten)(1+x²)
  6. y=0,1x³+4*sinx

Hoffe ihr könnt mir da helfen den Lösungsweg zu finden und was noch wichtiger ist ihn zu verstehen, damit ich für die Zukunft bei diesen Aufgaben keine Probleme mehr habe.

#2

Sehr geehrter Herr Bier,

mir fehlt im Moment leider die Muße für einen Mathematik-Fernlehrgang. Daher muss ich leider passen.
Ein paar Hinweise kann ich Ihnen dennoch geben:

  1. Hier helfen die Cardanischen Formeln weiter.
  2. Auch hier kommen Sie, nach einer Umformung, mit den Cardanischen Formeln weiter.
  3. Hier ist die PQ-Formel gefragt. Vorher müssen Sie noch eine Substitution z:=x^2 durchführen.
  4. Starten Sie doch mit der Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, dem Logarithmus.
    Die Umkehrfunktionen zu 5. und 6. können nicht als geschlossene Formeln angegeben werden.

Wenn Sie sich die Beispiele selbst ausgedacht haben, dann haben Sie - obwohl sie einfach aussehen - mit Ausnahme von 3. und 4. echt harte, im Falle von 5. und 6. sogar unknackbare Nüsse ausgesucht.
Lassen Sie sich in diesem Fall besser realistische Aufgaben von Ihrem Lehrer oder Dozenten geben, denn die bereiten Sie besser auf das vor, was Sie in der Klausur erwartet. Nebenbei dürften sie einfacher zu lösen sein als 1. und 2.

Mit freundlichen Grüßen

Thomas Klingbeil

#3

Hallo Daniel,

  1. y=x³-2x+3
  2. y=1/2x²-5x+8 x>5

Das sind (bei 2 nach Multiplikation mit x^2) Gleichungen dritten Grades, die in der Tat nicht so leicht zu lösen sind.

  1. y=x(hoch)4-4x²+1

Das ist eine quadratische Gleichung in x^2=u. Wende auf u^2 - 4u + (1-y) = 0 die Lösungsformel an und setze das Ergebnis in x = ± Wurzel{u} ein.

  1. y=e(hoch)-x²

Hier kommt x nur einmal vor, das geht leicht: wende den Logarithmus an und ziehe die Wurzel.

  1. y=e(hoch)-(x²/2)*(nicht mehr im Exponeten)(1+x²)
  2. y=0,1x³+4*sinx

Ich glaube nicht, daß man diese transzendenten Funktionen einfach umkehren kann.

Schöne Grüße,

Manfred

#4

Nachtrag:

  1. y=1/2x²-5x+8 x>5

Falls das y = 0.5x^2 -5x +8 heißen sollte, kannst Du natürlich einfach die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden (und die Lösungen auf x>5 beschränken).

Ich hatte das vorher als y = 1/(2x^2) - 5x + 8 gelesen…

Manfred

#5

Zu 1.)
Sicher, dass das x^3 (hoch 3) ist?

Zu 2.)
y = 1/2x^2 - 5x + 8
2y = x^2 - 5/2x + 8
2y - 8 + 25/16 = x^2 - 5/2x + 25/16
2y - 8 + 25/16 = (x - 5/4)^2
Wurzel(2y - 8 + 25/16) = x - 5/4
Wurzel(2y - 8 + 25/16) + 5/4 = x

Zu 3.)
y = x^4 - 4x^2 + 1
y + 3 = x^4 - 4x^2 + 4
y + 3 = (x^2 - 2)^2
wurzel(y+3) = x^2 - 2
wurzel(y+3) - 2 = x^2
wurzel( wurzel(y+3) - 2 ) = x

zu 4.)
y = e^(-x²)
ln(y) = -x²
-ln(y) = x²
wurzel(-ln(y)) = x

zu 5. und 6.) ??

#6

Hallo,

genau, es geht darum, die Gleichungen nach x aufzuloesen.

Bei 2, 3. sind quadratische Ergaenzungen durchzufuehren. Bei 1. funktioniert evtl. etwas, was aehnlich zur quadratischen Ergaenzung ist. Bei 4. ist das Aufloesen nach x direkt moeglich (logarithmieren). Bei 5. und 6. bin ich mir ad-hoc nicht sicher, ob sich ueberhaupt eine geschlossene Form der Umkehrfunktion finden laesst.

HTH
soja

#7

Um zu überprüfen, ob eine Funktion eine Umkehrfunktion hat, musst Du nicht unbedingt nach x auflösen. Hier die Ergebnisse.

  1. y=x³-2x+3

Das ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt 1. Den Scheitelpunkt berechnest Du mit S = -p/2, wenn die Form x^2+px+q vorliegt. Eine Parabel ist nach oben geöffnet, wenn vor dem x^2 keine negative Zahl steht.

Wenn Du vom Scheitelpunkt z. B. 1 subtrahierst und 1 addierst, bekommst Du x1 = 0 und x2 = 2. Dafür berechnest Du die y-Werte: y1 = y2 = 3.

Da beide Y-Werte gleich sind, ist die Funktion nicht injektiv und hat damit keine Umkehrfunktion.

  1. y=1/2x²-5x+8 x>5

Da x>5 sein soll, gilt y>(-2).

Diese Parabel hat den Scheitelpunkt 5. Du substituierst z:=x-5, z>0, also x=z-5, und bekommst y = z^2-9, also z=SQRT(y+9), da z>0.

y>= muss dabei gelten, was stimmt, da y>(-2).

Resubstitution liefert x = SQRT(y+9)+5 als Umkehrfunktion zu y mit x>5.

  1. y=x(hoch)4-4x²+1

Parabeln der Form ax^4+bx^2+c lassen sich mit der Substitution z:=x^2 vereinfachen.

Hier ist das y = z^2-4z+1. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei 2. z1=1 und z2=3 liefern y1=y2=(-2). Die Funktion ist nicht injektiv und damit nicht invertierbar.

  1. y=e(hoch)-x²

y>0, da die e-Funktion nicht negativ werden kann. Daher wird z. B. der Wert y=0 nicht angenommen.

Die Funktion ist nicht surjektiv und hat keine Umkehrfunktion.

  1. y=e(hoch)-(x²/2)*(nicht mehr im Exponeten)(1+x²)

Genauso wie die 4. Aufgabe.

  1. y=0,1x³+4*sinx

Es gilt -4 = 0.

Damit wird z. B. der Wert y=(-10) nie angenommen. Die Funktion ist nicht surjektiv und damit nicht invertierbar.

Ich hoffe, ich habe Dir damit geholfen. viel Erfolg,

Heike

#8

die generelle anleitung ist ja, dass man die gleichung so auflösen muss, dass da x = … y steht und letztlich nur noch die variablennamen wieder vertauscht…

also zb y = 2x-1 ==> y+1=2x ==> x = (y+1)/2 und damit also f(x)^-1 = (x+1) / 2

das ding ist ja nun, das ganze nach x aufzulösen…
aber bei deinen aufgaben:

  1. würd ich y = x * (x² - 2 ) +3 machen… und dann? hmm…
  2. würd ich ähnlich vorgehen mit x ausklammern, aber weiter häng ich grad…
  3. bei x hoch irgendwas hilft dann die n-te wurzel
  4. bei e hoch irgendwas hilft meistens, den LN anzuwenden
  5. ebenso…
  6. hmm dieser blöde sinus… naja, es gibt ja zum glück den sin^-1 bzw den arcsin, den man anwenden kann…

dabei muss man natürlich die gesetze für LN und SIN beachten…

viel glück!

fabian

#9

Ich wollte gerade die Antwort wegschicken, da stieg die Webseite aus. Jetzt muss ich von vorne anfangen, aber falls meine Antwort nicht mehr nötig ist, bitte ich um Nachricht.

#10

Hallo also bei ein paar kann ich helfen:

zu 2. das ganze auf die sogenannte Scheitelform bringen: y=1/2*(x^2-10x+16+9-9)=1/2*(x-5)^2-4,5 und dann nach x auflösen: x=sqrt((y+4,5)*2)+5
zu 3. wie oben schitelform durch binomische formeln:
y=x^4-4*x^2+1+3-3=(x^2-2)^2-3
x=sqrt(sqrt(y+3)-2)
zu4. logarithmieren ergibt nach umstellen:
x=sqrt(-log(y))

sqrt ist jeweils die Wurzel und man muss jeweils die positive und negative Wurzel ziehen. auch den bereich, in dem y sein darf, damit das ergebnis definiert ist, muss noch angegeben sein. aus zeitgründen kann ich die umkehrfunktionen der anderen nicht ausrechnen gerade. falls keiner die lösung geben kann, dann bitte nochmal melden und ich versuchs in einer freien minute :wink:

viele grüße und schonmla viel erfolg bei der klausur!