Hallo, sitze seit stunden an einer Matheaufgabe und komm einfach nicht weiter, obwohl ich das eigentlich lösen kann…!
Es folgt die Aufgabenstellung und meine Rechnungen bis zum Problempunkt, ich hoffe mir kann jemand sagen was ich falsch mache!
Aufgabe: Gesucht ist B derart, dass die Maßzahl der Fläche zw. der x-Achse und dem Graphen zu f(x)=x^2-4x+4 in [2;b] den Wert 10 FE (Flächeneinheiten) hat.
Lösungsansatz:
Integral von b bis 2 von f(x) = 10
= (x^2-4x+4) = 10
= [1/3x^3-2x^2+4x] von b bis 2 = 10
= [(8/3-8+8)-(1/3b^3-2b^2+4b)] = 10
= 8/3-1/3b^3-2b^2+4b = 10 I -10
= -1/3b^3-2b^2+4b-22/3 = 0 I /(-1/3)
= b^3+6b^2-12b+22
So und jetzt sollte ich die Nullstellen ausrechnen. Und dies ist nicht wirklich möglich, da irgendwelche eigenartigen Endloszahlen rauskommen, welche die Polynomdivision unmöglich machen. Ausklammern oder substituieren ist auch nicht möglich, ich verzweifle langsam…!
Bitte Hilfe!
Aufgabe: Gesucht ist B derart, dass die Maßzahl der Fläche zw.
der x-Achse und dem Graphen zu f(x)=x^2-4x+4 in [2;b] den Wert
10 FE (Flächeneinheiten) hat.
Achtung! Deine linke Seite hier ist ∫b2. Es ist aber nicht ∫b2 = 10 verlangt, sondern ∫2b = 10. Deshalb wäre richtig:
(1/3 b^3 - 2 b^2 + 4 b) – (8/3 - 8 + 8) = 10
und das führt auf
b^3 – 6 b^2 + 12 b – 38 = 0
Damit liegt eine kubische Gleichung vor, deren Lösung Du mit Hilfe der Cardanischen Formeln ausrechnen könntest. Du würdest dann ebenfalls b = 2 + 3√30 herausbekommen – nur erheblich beschwerlicher. Also besser machen wie oben: Sehen, dass x2 – 4 x + 4 ein Binom ist (= (x – 2)2), und dann die Integralgrenzen shiften. Dann wird es ganz easy, und ebendiese Erkenntnis will Dir diese Aufgabe vermitteln.
Die Cardanischen Formeln sind das Äquivalent zur „Mitternachtsformel“ p/2 ± √((p/2)2 – q) für quadratische Gleichungen. Da sie jedoch ziemlich unbequem zu Handhaben sind und didaktisch wenig bringen, stehen sie i. a. nicht auf dem Lehrplan.