Hallo,
Ein kugelförmiger Luftballon wird mit Hilfe einer Maschine,
die jede Secunde 1000cm^3 gleichmäßig in den Ballon bläst,
aufgeblasen.
Stelle für diesen Vorgang eine Funktion V(t) und eine
Funktion
r(t) auf.
Der Volumenstrom ist 1000cm³/s. Also werden in der ersten Sekunde 1000cm³ Luft reingepumpt, in der 2. Sekunde nochmal, in der dritten wieder usf.
Nach zB. 5 Sekunden - wie viel Luft ist dann im Ballon?
Und allgemein nach t Sekunden?
Und das ist auch schon die gesuchte Formel V(t).
Für r(t) setzt du statt des Volumens die Formel für das Volumen und löst nach r auf. Damit Hast du auch r(t).
b)Welchen Radius hat der Ballon nach 10 s, nach welcher Zeit
ist der Radius des Ballon 10cm?
Die gegebene Zeit (10s) in die Formel r(t) einsetzen. Sie liefert dann ja direkt den Radius.
Den gegeben Radius (10cm) in die Formel r(t) einsetzen. Die Formel nach t auflösen.
c)Berechne die mittlere Änderung des Radius in den
Zeitintervallen [1, 3] und [8, 10].
Die Frage ist etwas komisch: nach 2s hat der Ballon einen anderen Radius (in cm). Was soll da „gemittelt“ werden? Anders natürlich, wenn nach der mittleren Geschwindigkeit (in cm/s) gefragt ist, mit der sich der Radius ändert.
Rechne den Radius mit der Formel r(t) nach 1s und nach 3s aus. Die Differenz ist die Änderung, die Differenz pro 2s ist die mittlere Geschwindigkeit. Genauso für das 2. Intervall.
d) Stelle eine Funktion r’(t) für die momentane Änderung des
Radius auf und berechne: Wie groß ist die Änderung des r’(t)
nach 10s; nach welcher Zeit wächst der Radius um 1cm/s
r’(t) ist die Ableitung von r(t) nach t.
Der Rest ist stupides Einsetzen bzw. Einsetzen+Auflösen (nach t).
LG
Jochen