Hilfe bei Matheaufgabe

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe gerade überhaupt nicht voran:

Eine Konservendose hat die Form eines geraden Kreiszylinders. Die Dose soll das Volumen 120 cm² fassen. Ihre Abmessungen sollen so gewählt werden, dass die Oberfläche minimal wird. Bestimmen Sie eine Funktion f einer Veränderlichen, deren Untersuchung das gestellte Optimierungsproblem lösen w+rde. Geben Sie einen Term und eine situationsgerechte Definitionsmenge der Funktion f an.

Wäre nett, wenn mir da vielleicht jemand erklären könnte, wie ich vorzugehen habe.

Danke schonmal

#2

Hey,
sagen wir mal
O=Oberflaeche
R=Radius
h=hoehe
V=Volumen
Die Oberflaeche kannst du dir aus dem Mantel und dem Deckel und dem Boden in Abhaengigkeit von Radius und hoehe zusammenbasteln O(h,R).
Nun hast du zusaetzlich das Volumen, das auch von Radius und hoehe abhaengt, also V(R,h)=120. Aus dieser Gleichung bekommst du den Radius R in abhaengigkeit von der Hoehe h. Diesen Radius setzt du in die Oberflaechenfunktion ein. O haengt jetzt nur noch von der Zylinderhoehe ab O(h), sodass du ohne Probleme ableiten und null setzen koenntest. Das ist der Term nachdem gefragt wird und die Definitionsmenge sollte so ggewaehlt sein, dass die hoehe groesser als 0 ist, denn sonst wuerde das ganze ja physikalisch keinen Sinn machen.
Falls du noch Fragen hast meld dich einfach noch mal
Lieben Gruss
Alienor

#3

Hallo KeksChrissi

hier die Lösung:

hier die Formelen für Oberfläche (=O) und für V (Volumen) muss man halt 120 einsetzen und es sind cm hoch 3.

dann musst man die erste Ableitung und zweite Ableitung von O® bilden.

O=2*pi*r(r+h)
V=pi*r²h oder h=V/(pi*r²)
O®=2*pi*r²+2V/r
O’®=4*pi*r-2V/r²
O’®=0 führt zu r=[(V/(2*pi)]1/3
O’'®=4*pi+4V/r-3 >0, also ist in r ein Minimum
h=[4V/pi]]1/3
d/h=1

Gruß

jeanveaux