Hilfe bei Trigonometrie

Wissenschaft Mathematik
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Hallo erst einmal.
Ich bin ein hoffnungsloser Fall in Mathe… immer denke ich, ich hätte es verstanden, aber wenn ich dann zu Hause sitze und die Aufgaben machen will, dann hab ich hunderte dicke Fragezeichen über dem Kopf. Fragt sich wo ich war, als Gott mathematisches Wissen verteilt hat und logisches Denken.
Zur Aufgabe:

„Berechne die sämtlichen Stücke des rechtwinkligen Dreiecks ABC; berechne auch den Umfang und den Flächeninhalt.“

a) a = 7cm
β = 14°
(Gamma) y = 90°

Ich hab da jetzt einmal 1,69 und einmal 6,79 raus. Aber was für welche Seite richtig ist, weiß ich nicht und obs richtig ist, weiß ich auch nicht.

Zudem werde ich nicht schlau, wann man sin (Alpha) und cos (Alpha) nimmt und wann dann sin (Beta) cos (Beta) und/oder sin (Gamma), cos (Gamma).

weitere Aufgaben sind:
b) a = 4,4 cm
α = 44°
β = 90°

c) a = 185m
α = 90°
y = 58°

___

bei b) hab ich noch sin46°*4,4 = 3,01 …

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Hallo,
ich denke, ich kann dir helfen. Allerdings ist das per Mail etwas schwieriger als an der Tafel oder auf einem Blatt Papier, aber ich geb mein Bestes :wink:

Vorweg noch einmal, keine Angst vor Trigonometrie, das ist nicht so schwer wie es scheint. Und im rechtwinkligen Dreieck ist das noch leichter überschaubar als im allgemeinen.

Ich schreib jetzt mal auf, wie ich dir rate an die Aufgaben heran zu gehen -am Beispiel der 1. - die restlichen solltest du dann allein probieren.

  1. immer eine Skizze machen, die Stücke (also Seiten und Winkel) eintragen
    In diesem Fall liegt der rechte Winkel ja bei Gamma, also ist c die Hypotenuse

  2. dann würde ich alle Stücke des Dreiecks aufschreiben, also a, b, c, Alpha, Beta, Gamma und dann schon mal die gegebenen Werte dahinter schreiben.
    Die neu berechneten Werte kann man dann auch dort eintragen und hat somit einen guten Überblick, ob schon alles berechnet wurde.

  3. Die Reihenfolge der weiteren Berechnungen ist nicht unbedingt vorgegeben, beginnen würde ich mit den Stücken, die mir direkt ins Auge fallen, wie zB. Alpha
    Da Beta und Gamma schon gegeben sind, braucht man nur noch über die Innenwinkelsumme Alpha berechnen.
    Also: 180°-14°-90°= 14°

  4. Du schreibst, du weißt nicht, wann man sin/cos/tan inbezug auf die versch. Winkel benutzt.
    Hier muss ich dich „enttäuschen“. Aus meiner Sicht gibt es dazu keinen Ablaufplan, so nach dem Motto 1.das , dann 2. das

Hier würde ich dir dringend empfehlen mit der Skizze zu arbeiten. Du solltest schauen, ob zu den Winkeln die Gegenkathete/die Ankathete und/oder die Hypotenuse gegeben ist. Du brauchst immer 2 gegebene Größen, um die 3. zu berechnen.

Um es deutlicher zu machen: der sin(Beta)= b/ c
also die Gegenkathete/Hypotenuse
Der cos(Beta) wäre a/c. Mir scheint, du hast hier zwar den Kosinus richtig erkannt, hast dann aber um c zu berechnen cos 14 * 7= 6,79 gerechnet. Damit hast du die Formel aber falsch umgestellt: Du hättest 7/cos 14= 7,21 rechnen müssen.
Wenn du Schwierigkeiten mit solchen Formeln hast, kannst du das mit dem „Dreieck“ umgehen. SChau mal hier http://www.gymipro.de/Physik/form-umst.htm

Sooo, jetzt hast du c=7,21 cm die Hypotenuse und kannst über den Satz des Pythagoras Wurzel aus 7,21²-7²= 1,73 cm die Seite b ausrechnen.

Man hätte auch tan 14 * 7= 1,745 rechnen können, das wäre noch genauer, weil die 7,21 oben ja gerundet sind.

So, nun noch A=a*b/2 und u=a+b+c, das sollte machbar sein.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Viel Erfolg für den Rest :smile:

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Als erstes rechnest du Alpha aus. Das geht über die Innenwinkelsumme Alpha = 90°-Beta = 76°.

Da du es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun hast, gilt sin Alpha = a / c (c ist Hypothenuse wegen Gamma = 90°). Umgestellt nach c erhältst du
c = a / sin Alpha = 7cm / sin 76° = 7,21 cm
Außerdem gilt sin Beta = b / c. Das stellst du um nach b
b = c * sin Beta = 7,21 cm * sin 14° = 1,75 cm.
Für den Umfang addierst du die Seitenlängen
u = a + b + c = 7,0 cm + 1,75 cm + 7,21 cm = 15,96 cm,
für den Flächeninhalt berechnest du das halbe Produkt der Katheten
a = 1/2 * a * b = 1/2 * 7 cm * 1,75 cm = 6,11 cm^2.

Noch ein Tipp: Wenn du einen Taschenrechner mit mehreren Speicherplätzen hast, dann speichere dir die berechneten Werte ab: Seite a in Speicher A, Seite b in Speicher B, … . Mache es immer auf die gleiche Weise, dann kommst du nicht durcheinander und sparst dir das wiederholte Eintippen. Außerdem werden die Ergebnisse genauer.

Sinus Alpha nimmst du, wenn die gegenüberliegende Kathete bekannt ist, Cosinus Alpha bei der an Alpha anliegenden Kathete. Die Hypothenuse brauchst du in jedem Fall. Kennst du die nicht, bleibt der Tangens Alpha, bei dem du die beiden Katheten ins Verhältnis setzt.

Für deine weiteren Beispiele ergibt sich

b) Gamma = 46°
sin Alpha = a / b
b = a / sin Alpha = 4,4 cm / sin 44° = 6,33 cm
cos Alpha = b / c (mal zur Abwechslung was anderes!)
c = b * cos Alpha = 6,33 cm * cos 44° = 4,56 cm
u = a + b + c =15,29 cm
A = 1/2 * a * c = 10,02 cm^2

c) Beta = 32°
sin Gamma = c/a c = a * sin Gamma = 156,89 m
cos Gamma = b/a b = a * cos Gamma = 98,04 m
u = a + b + c = 439,92 m
a = 1/2 * b * c = 7690,31 m^2

Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Verwendet ihr ein Tafelwerk im Unterricht? Da findest du garantiert die notwendigen Formeln drin.

Ansonsten wusste schon Archimedes

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Also Kopf hoch!

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Danke vielmals! Allerdings hab ich jetzt noch ein Problem…

in der zweiten Aufgabe stehen nämlich jetzt nur noch zwei Angaben.

Bsp: c = 17 cm
a = 14 cm

Jetzt hab ich für b = 9,64 cm raus.
Für den Umfang hab ich 40,64 cm und den Flächeninhalt kann ich ja gar nicht ausrechnen, oder? ich nehme einfach mal an, dass man dafür die Winkel braucht, damit man weiß, wie das Dreieck eigentlich aussieht und man dann eventuell sehen muss, wie die Höhe verlaufen würde?

Ich hab mal versucht die Formeln, die du geschrieben hast (Die ich mir auch aufgeschrieben hab von der Tafel, aber dann wieder nichts damit anfangen konnte) umgestellt. Beziehungsweise ich habe es versucht, aber irgendwie hab ich das arge Gefühl, dass das falsch ist. Jedenfalls kommt bei mir für den Winkel immer was von 1, … raus.

cos (Alpha) = b/c
sin (Alpha) = a*b = 134,96° ??

Ich werde da einfach nicht schlau draus.
Vielleicht kannst du mir noch einmal helfen?

Ich denke mal, das andere hab ich jetzt gerallt. Ich hab die Formel ja nie umgestellt.

5

Gehen wir einfach mal davon aus, dass dieses Dreieck auch rechtwinklig ist. Dann können a und c die Katheten sein, es könnte aber auch a eine Kathete und c die Hypothenuse sein.
Zum Bearbeiten brauchst du den Satz des Pythagoras.
(1) a und c sind Katheten
b = Wurzel aus (a^2+c^2) = 22,02 cm
u = 53,02 cm
A = 1/2*a*c=476 cm^2
(2) a ist Kathete, c Hypothenuse
b = Wurzel (c^2-a^2) = 9,64 cm
u = 40,64 cm
A = 1/2*a*b = 67,51 cm^2
Du brauchst keine Winkel zu berechnen.
Flächeninhalt im rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem halben Produkt der Katheten.

Überprüfe mal die Einstellung deines Taschenrechners. Du musst auf DEG stellen. Offensichtlich hast du auf Bogenmaß RAD eingestellt! GRAD wäre auch falsch, dass ist für diejenigen, bei denen der rechte Winkel 100° groß ist (z.B. USA).

Falls du doch noch die Winkel wissen willst, hier sind sie:
(1) a und c sind Katheten
Alpha = 39,47° Beta = 90° Gamma = 50,53°
(2) a ist Kathete, c Hypothenuse
Alpha = 55,44° Beta = 34,56° Gamma = 90°

Gerne mehr!

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Oh, welch ein Jammer. Dann war das ja völlig unnötig, was ich da machen wollte. Ich sagt ja, bei mir fehlt da was…

Aber so scheint das ja echt ganz simpel zu sein. Wobei, ist die Formel um den Flächeninhalt des Dreiecks auszurechnen immer 1/2*a*c? was das nicht mal 1/2 g*h?

1/2*a*c klappt doch nur bei Rechtwinkligen Dreiecken oder? Ich bin ja bei der letzten Aufgabe nicht davon ausgegangen, dass das Dreieck rechtwinklig ist, deswegen hätte ich ja erst einmal die Höhe ausrechnen müssen. Und um zu sehen, wo die Höhe ist, die Winkel wissen müssen. Oder kann man das überhaupt nicht, bei nur zwei Angaben, wie bei der Aufgabe?

Ein Beispiel für ein normales Dreieck, ohne rechten Winkel hatten wir in der Schule. Das hab ich mir eben auch noch angesehen, aber da dachte ich, dass das auch anders lauten könnte als 1/2*a*c - also *a*c; dass stattdessen andere Seiten genommen werden.

Ich danke dir wirklich sehr… vermutlich wäre ich hier auch noch im Dreieck getitscht. Siehst ja, was ich da fürn Quatsch produziere.

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Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks heißt in der Tat A = 1/2 *g*h. Dabei ist g eine beliebige Seite des Rechtecks, h die zugehörige Höhe.
Im rechtwinkligen Dreieck sind nun die beiden Katheten zueinander Grundseite und Höhe, deshalb ist hier der Flächeninhalt gleich dem halben Produkt der Katheten. Also vorsichtig, es war nur in diesem speziellen Fall A = 1/2 a*c, denn meistens ist c die Hypothenuse. Lass dich also nicht reinlegen von deinem Mathelehrer.