Hilfe bzw. logische Erklärung beim Ausklammern

Wissenschaft Physik
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Hallo zusammen
Beschäftige mich schon seit einiger Zeit mit Faktorisieren bzw. Ausklammern. In einem Übungsbuch fand ich die Formeln bzw. Produkte:

Klar ist mir:
Ausgangsprodukt: 2xy + 10xyz - 20xz
Nach der Umformung bzw. Ausklammerung: 2x * (y + 5yz - 10z)
Erklärung: Ich klammere den grössten gemeinsamen Faktoren aus 2 und x (sind in allen 3 Termen enthalten)

Unklar sind mir:
Ausgangsprodukt: a^2 + 2ab + b^2
Nach der Umformung bzw. Ausklammerung: (a + b)^2
Erklärung: ??? (wieso sind die 2ab nicht mehr da wie und wo fallen sie weg?)

Ausgangsprodukt: 4a^2 - 20ab + 25b^2
Zwischenschritt: (2a)^2 - 2 * 2a * 5b + (5b)^2
Nach der Umformung bzw. Ausklammerung: (2a - 5b)^2
Erklärung: ??? (wieso sind hier die 2 * 2a * 5b weg??

Könnt Ihr mir bei den beiden letzten Produkten die Lösungsschritte aufzeigen und erklären? Wäre Euch dankbar denn komme echt nicht dahinter…
Grüsse Euch
Bruno

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Hallo Brundo,
binomische Formeln:
1.) (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
2.) (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
3.) (a+b)(a-b)=a^2-b^2
Erklärt sich sofort von selbst, wenn du (a+b)^2 als Produkt (a+b)(a+b) schreibst und ausmultiplizierst.
Gruß Orchidee

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3

Hallo,

schau doch mal unter dem Begriff „Binomische Formel“ nach. Auf dem umgekehrten Weg ist es einfacher, das ganze herzuleiten:

(a+b)^2 = (a+b)*(a+b) = a^2 + 2ab + b^2 (1. binomische Formel)
(a-b)^2 = (a+b)*(a-b) = a^2 - 2ab + b^2 (2. binomische Formel)

Die dritte krieg ich grad aus’m Kopp nicht hin.

Haelge

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Hallo Bruno

Unklar sind mir:

Hier ist das wichtige Stichwort: Binomische Formeln

Wenn du den Ausdruck

(a+b)*(a+b)

mal ausmultiplizierst, bekommst du:

a² + ab + ab + b²

Einverstanden? Ok, die beiden ab lassen sich zusammenfassen:

a² + 2ab + b²

Das geht natürliche aus rückwärts! Wenn du sowas wie a²+2ab+b² stehen hast, dann weisst Du, das das im Prinzip das ausmultiplizierte Ergebnis ist von (a+b)*(a+b), den man auch (a+b)² schreiben kann.

Also:

(a+b)² = a²+2ab+b²

Die linke und rechte Seite vom Gleichheitszeichen sind mathematisch gleich.

Das ist die erste binomische Formel (bi-nomisch, weil zwei [zwei=bi] Variablen [a und b; =Namen=nomen] vorkommen.

Die zweite binomische Formel ist das gleiche mit einem Minus:

(a-b)² = a²-2ab+b²

Zur überprüfung multipliziere (a-b)*(a-b) aus!

Fehlt noch die dritte binomische Formel, wo in einer Klammer ein Plus und in der anderen ein Munis steht:

(a+b)*(a-b) = a²-b²

Beim Ausmultiplizieren heben sich ein „+ab“ und ein „-ab“ auf. Überprüfe es!

Ausgangsprodukt: a^2 + 2ab + b^2
Nach der Umformung bzw. Ausklammerung: (a + b)^2
Erklärung: ???

Das erste Binom.

Ausgangsprodukt: 4a^2 - 20ab + 25b^2
Zwischenschritt: (2a)^2 - 2 * 2a * 5b + (5b)^2

So erkennt man, das es wieder ein Binom ist. Statt „a“ hast du hier „2a“ und statt „b“ eben „5b“. Falls dir das nicht klar ist, dann setze mal x = 2a und y = 5b. Dann sieht die Formel so aus:

x² - 2xy + y²

Nach der Umformung bzw. Ausklammerung: (2a - 5b)^2
Erklärung: ???

Zweites Binom.

Jetzt fehlt dir als Übung noch das dritte Binom. So könntest du zB.

9a² - 16b²

auch schreiben als

(3a)² - (4b)² = (3a+4b)(3a-4b)

Alles klar jetzt?

LG
Jochen

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Erklärung: Ich klammere den grössten gemeinsamen Faktoren aus

Nein: Man klammert EINEN Faktor aus.

[Zusatz: Und sollte der Faktor in einem Term fehlen, dann kann man ihn erzeugen, da Faktor*(1/Faktor) = 1 und mit Einsen darf man beliebig multiplizieren.]

Unklar sind mir:
Ausgangsprodukt: a^2 + 2ab + b^2

Die anderen Beiträge haben gezeigt, wie man ausmultipliziert. Hier zeige ich, wie man ausklammert:

a^2 + 2ab + b^2

= a^2 + ab + ab + b^2

= a(a + b) + (a + b)b

= (a + b)(a + b)

= (a + b)^2

[Zusatz: Sollte einmal ein ganzer Term fehlen, dann addiert man ihn einfach und zieht ihn gleich wieder ab, denn Term - Term = 0 und Nullen darf man beliebig addieren.

Beispiel:

a^2 + 2ab + c^2

= a^2 + 2ab + b^2 + c^2 - b^2

= (a + b)^2 + c^2 - b^2
]

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Hallo zusammen möchte Euch herzlich danken. Jetzt kann ich es für mich auch wirklich einordnen und ist mir logisch.

Ganz speziellen Dank noch an Jochen und Frank für Ihre ausführlichen Erklärungen, die sind mir eine grosse Hilfe.

Grüsse
Bruno

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