Hallo zusammen
Ich habe ein Problem mit einer Matheaufgabe bei welcher mir nicht klar ist wieso der Lösungsweg so lautet.
Die Aufgabenstellung lautet:
Sie möchten den gesamten Weg (runter und rauf und runter und rauf und runter…) eines Gummiballs herausfinden, den er bei n-maligem Auftreffen auf dem Boden zurücklegt, wenn er immer 75 % der Strecke zurückspringt und sie den Gummiball aus einem 40 Meter hoch gelegenen Fenster auf den Gehsteig fallen lassen.
Sie brauchen folgende Gleichung:
gesamter Weg = 40 + 240[1-0,75n]
Wenn n die Anzahl des Auftreffens auf dem Boden wiedergibt, können Sie mit dieser Formel den gesamten zurückgelegten Weg herausfinden.
Nach einmaligem Auftreffen und vor dem zweiten ist der gesamte Weg 40 Meter + 30 Meter + 30 Meter = 100 Meter.
gesamter Weg = 40 + 240[1 - 0,75n] = 100 Meter (n = 1)
Sie möchten den gesamten Weg (runter und rauf und runter und
rauf und runter…) eines Gummiballs herausfinden, den er bei
n-maligem Auftreffen auf dem Boden zurücklegt, wenn er immer
75 % der Strecke zurückspringt und sie den Gummiball aus einem
40 Meter hoch gelegenen Fenster auf den Gehsteig fallen
lassen.
Sie brauchen folgende Gleichung:
gesamter Weg = 40 + 240[1-0,75n]
Wenn ich das richtig sehe, beschreibt die von Dir zitierte Gleichung keine Lösung Deines Problems. Vielmehr ist eine Lösung für den zurückgelegten Weg nach n-maligem Auftreffen (bei Dir q=0.75):
n
s<sub>n</sub> = 40 \* Σ q<sup>k-1</sup>
k=1
Im Limes n->∞ kommt dann s = 40/(1-q) heraus.
Das Stichwort, was Dir weiterhelfen wird in der Formelsammlung Deines Vertrauens ist geometrische Reihe und ggf. vollständige Induktion, wenn man überhaupt einen kompakten Ausdruck für die Strecke nach n Hüpfern aufschreiben kann.
Die Aufgabenstellung lautet:
Sie möchten den gesamten Weg (runter und rauf und runter und
Sie brauchen folgende Gleichung:
gesamter Weg = 40 + 240[1-0,75n]
kann es sein, dass du hier ein „hoch“ vergessen hast, also folgendes meintest?
40 + 240*(1-0.75^n)
Der erste Weg ist ein Spezialfall. Die 40 m addiert man einfach seperat. Ab dann geht es einmal rauf und runter. Also kann man einfach von 60 m ausgehen, die die nächsten Male reduziert werden.
60*0.75^0 + 60*0.75^1 + … + 60*0.75^(n-1)
Also mit a0=60 und q=0.75 ergibt dies:
a0*(q^n - 1)/(q-1)
=60/(-0.25)*(0.75^n-1)
=240*(1-0.75^n)
Dan kommt da noch der Anfangssummand von 40 hinzu. Außerdem muss man aufpassen, dass man richtig mit dem n anfängt zu zählen. Das kann man aber durch ausprobieren eines Wertes sicherstellen.
Man kann das sicherlich alles noch schöner aufschreiben; vielleicht hilft es aber.
Hi zusammen
Danke für Eure Hilfe. Leider hat es mich noch nicht viel weiter gebracht. Das stimmt natürlich von Sebastian ich habe vor dem n das hochzeichen vergessen und es sollte ^n sein, da n der Exponent darstellt. Die komplette Lösungsformel wird aufgezeigt darin wie folgt:
40 + 240[1-0,75^10]=266.48 Meter (Gerundet auf 2 Dezimalstellen).
Mir aber nach wie vor nicht klar ist die Zahl 240 in der Formel. Woher diese Zahl stammt mit den Ausgangsdaten.
Die 40 sind die 40 Meter beim Fall aus dem Fenster bis zum Boden.
Von nun an betrachtest Du immer den Weg vom Boden zum Scheitelpunkt und zurück. Das ist beim ersten Mal 30 Meter hoch und 30 runter. Macht 60 Meter, beim zweiten Mal 60*0,75 Meter, beim dritten Mal 60*0,75^2 Meter usw.
Das macht zusammen: 40+60*(1+0,75+0,75^2+0,75^3+…+0,75^(n-1))
Hoch n-1 muss es sein, weil der Gummiball ja schon nach den ertsen 40 Metern das erste Mal aufgekommen ist.
Der geklammerte Ausdruck ist eine geometrische Reihe mit konstantem Faktor 0,75. Man kann die ganze Klammer zusammenfassen zu (1-0,75^n)/(1-0,75)=(1-0,75^n)/0,25=4*(1-0,75^n),
so dass Du insgesamt für den zurückgelegten Weg bekommst:
40+60*4*(1-0,75^n)=40+240*(1-0,75^n)
Ich hoffe, Du kannst jetzt nachvollziehen, woher die 240 kommt (60*4).